7 最後に

本稿では、一般角に対する $\sin$ と $\cos$ の加法定理と、 複素数に対する加法定理の証明、および多項の加法定理を紹介した。

3 節, 4 節の一般角に対する 加法定理の証明は、$90^\circ$ ずつ増やしていく形の証明だが、 これ以外にもやり方はあり、 例えば高校の教科書に載っている単位円周上の 2 点と原点がつくる 三角形の方法に少し考察を加えることでも任意の一般角に対する 証明を行うことは可能だろう。

また、5 節の複素数版の加法定理の証明は、 複素変数を使わずに実数部分、虚数部分に直した形での直接証明であるが、 複素関数論の本では (7), (8) の 上の複素指数形の表現式を使用し、先にその複素指数に対する指数法則を示し、 それを利用して証明するのが普通であろう。 本稿では複素変数関数の話は避けて、少し煩雑な計算を示したが、 逆にあまり本では見ない計算かもしれない。

6 節の多項の加法定理も通常本などには書かれていないが、 $\sin,\cos$ で表現するよりも $\cos,\tan$ で表現する方が見通しが よいという所は多少面白いかもしれない。