6 多項の加法定理

ついでに、もうひとつ別の方向の加法定理の拡張も紹介しておく。

2 節の (3) のように、 $\sin,\cos$ の加法定理は $\tan$, $\cos$ によって次のように 書き表すこともできる。

	$$\sin(\alpha+\beta)$$	$=$	$$(\tan\alpha+\tan\beta)\cos\alpha\cos\beta$$	(9)
	$$\cos(\alpha+\beta)$$	$=$	$$(1-\tan\alpha\tan\beta)\cos\alpha\cos\beta$$	(10)

これらは、元の加法定理 (1),(2) とは 別の対称性を持っている。

これらを用いて、3 項の $\sin(\alpha+\beta+\gamma)$, $\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ の展開式を見てみる。 まず (9) より、

$$\sin(\alpha+\beta+\gamma) =\sin\Bigl(\alpha+(\beta+\gamma)\Bigr) =\{\tan\alpha+\tan(\beta+\gamma)\}\cos\alpha\cos(\beta+\gamma)$$

となるが、これに $\tan$ の加法定理と (10) を 用いると、

	$${\sin(\alpha+\beta+\gamma)}$$
		$=$	$$\left(\tan\alpha+\frac{\tan\beta+\tan\gamma}{1-\tan\beta\tan\gamma} \right)\cos\alpha(1-\tan\beta\tan\gamma) \cos\beta\cos\gamma$$
		$=$	$$(\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma-\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma) \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$$	(11)

同様に、(10) より、

	$${\cos(\alpha+\beta+\gamma) \ =\ \cos\Bigl(\alpha+(\beta+\gamma)\Bigr)}$$
		$=$	$$\{1-\tan\alpha\tan(\beta+\gamma)\}\cos\alpha\cos(\beta+\gamma)$$
		$=$	$$\left(1-\tan\alpha\,\frac{\tan\beta+\tan\gamma}{1-\tan\beta\tan\gamma} \right)\cos\alpha(1-\tan\beta\tan\gamma)\cos\beta\cos\gamma$$
		$=$	$$(1-\tan\alpha\tan\beta-\tan\alpha\tan\gamma-\tan\beta\tan\gamma) \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$$	(12)

のようになる。

今、 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ の $k$ 次基本対称式 ($1\leq k\leq n$)、 すなわち $X_1,X_2,\ldots,X_n$ から $k$ 個を選んでそれらをかけたものの、 $k$ 個の選び方すべての組み合わせに対する和を

	$$S^n_k$$	$=$	$$S^n_k(X_1,X_2,\ldots,X_n) \ =\ \sum_{1\leq j_1<\cdots<j_k\leq n}\prod_{m=1}^k X_{j_m}$$
		$=$	$$X_1X_2\cdots X_k + X_1X_2\cdots X_{k-1}X_{k+1} + \cdots + X_{n-k+1}1X_{n-k+2}\cdots X_n$$	(13)

とする。なお、$S^n_0=1$ としておく。例えば、

			$$S^2_1=X_1+X_2, \hspace{1zw}S^2_2=X_1X_2,$$
			$$S^3_1=X_1+X_2+X_3, \hspace{1zw}S^3_2=X_1X_2+X_1X_3+X_2X_3, \hspace{1zw}S^3_3=X_1X_2X_3$$

となるが、これを用いれば、(9),(10),(11),(12) は $X_j=\tan\theta_j$ に対し

	$$\sin(\theta_1+\theta_2)$$	$=$	$$S^2_1\prod_{j=1}^2\cos\theta_j$$
	$$\cos(\theta_1+\theta_2)$$	$=$	$$(1-S^2_2)\prod_{j=1}^2\cos\theta_j$$
	$$\sin(\theta_1+\theta_2+\theta_3)$$	$=$	$$(S^3_1-S^3_3)\prod_{j=1}^3\cos\theta_j$$
	$$\cos(\theta_1+\theta_2+\theta_3)$$	$=$	$$(1-S^3_2)\prod_{j=1}^3\cos\theta_j$$

のように表すこともできる。 実は一般に、

	$$\sin\left(\sum_{j=1}^n\theta_j\right)$$	$=$	$$\left\{\sum_{1\leq 2k+1\leq n}(-1)^kS^n_{2k+1}\right\} \prod_{j=1}^n\cos\theta_j$$
		$=$	$$(S^n_1-S^n_3+S^n_5-\cdots)\prod_{j=1}^n\cos\theta_j$$	(14)
	$$\cos\left(\sum_{j=1}^n\theta_j\right)$$	$=$	$$\left\{\sum_{0\leq 2k\leq n}(-1)^kS^n_{2k}\right\} \prod_{j=1}^n\cos\theta_j$$
		$=$	$$(1-S^n_2+S^n_4-\cdots)\prod_{j=1}^n\cos\theta_j$$	(15)

となることが証明できる。 その証明は、オイラーの公式とその指数法則を認めれば、そう難しくはない。

	$${ \cos\left(\sum_{j=1}^n\theta_j\right) +i\sin\left(\sum_{j=1}^n\... ... =\ \exp\left(i\sum_{j=1}^n\theta_j\right) \ =\ \prod_{j=1}^n e^{i\theta_j} }$$
		$=$	$$\prod_{j=1}^n (\cos\theta_j+i\sin\theta_j) \ =\ \prod_{j=1}^n\cos\theta_j\prod_{j=1}^n(1+i\tan\theta_j)$$	(16)

となり、

$$\prod_{j=1}^n(1+i\tan\theta_j) = \prod_{j=1}^n(1+iX_j) = (1+iX_1)(1+iX_2)\cdots(1+iX_n)$$

を展開すれば、

$$\prod_{j=1}^n(1+iX_j) = 1+iS^n_1+i^2S^n_2+i^3S^n_3+\cdots+i^nS^n_n$$

となることが容易にわかる。よって、実部虚部に分ければ、

$$\prod_{j=1}^n(1+iX_j) = (1-S^n_2+S^n_4-\cdots)+i(S^n_1-S^n_3+S^n_5-\cdots)$$

となるので、(16) の実部が (15) に、 (16) の虚部が (14) になることがわかり、 これらが示されたことになる。

なお、(14), (15) の外にある $\cos\theta_j$ の 積を $\tan\theta_j$ の対称式にかけ算することで、 通常の加法定理のように (14), (15) を $\sin\theta_j$ と $\cos\theta_j$ の $n$ 次の項の和、差の形に 直すこともできる。 例えば、

	$${\sin(\alpha+\beta+\gamma)}$$
		$=$	$$\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma +\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma +\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma -\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,$$
	$${\cos(\alpha+\beta+\gamma)}$$
		$=$	$$\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma -\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma -\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma -\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma$$

といった具合である。