3 角の拡張その 1

次は、(1), (2) が成り立つ範囲を $P_1$ から少しずつ広げていく。

まず、

$P_2$ : 「 $\mbox{$90^\circ$}\leq\alpha<\mbox{$180^\circ$}$ かつ $\mbox{$0^\circ$}\leq\beta<\mbox{$90^\circ$}$」

の場合を考える。 この場合は、 $\gamma=\alpha-\mbox{$90^\circ$}$ とすると $\mbox{$0^\circ$}\leq\gamma<\mbox{$90^\circ$}$ な ので、$P_1$ より $\gamma$ と $\beta$ に対しては加法定理が成立するので、

$$\sin(\theta\pm\mbox{$90^\circ$})=\pm\cos\theta, \hspace{1zw}\cos(\theta\pm\mbox{$90^\circ$})=\mp\sin\theta$$ (4)

を用いれば、

	$$\sin(\alpha+\beta)$$	$=$	$$\sin(\gamma+\beta+\mbox{$90^\circ$}) \ =\ \cos(\gamma+\beta)$$
		$=$	$$\cos\gamma\cos\beta-\sin\gamma\sin\beta$$
		$=$	$$\cos(\alpha-\mbox{$90^\circ$})\cos\beta-\sin(\alpha-\mbox{$90^\circ$})\sin\beta$$
		$=$	$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$
	$$\cos(\alpha+\beta)$$	$=$	$$\cos(\gamma+\beta+\mbox{$90^\circ$}) \ =\ -\sin(\gamma+\beta)$$
		$=$	$$-(\sin\gamma\cos\beta+\cos\gamma\sin\beta)$$
		$=$	$$-\sin(\alpha-\mbox{$90^\circ$})\cos\beta-\cos(\alpha-\mbox{$90^\circ$})\sin\beta$$
		$=$	$$\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

となって、$P_2$ に対して (1), (2) が 成り立つことが示される。 なお、上では $\sin$ の加法定理は $\cos$ の加法定理により導かれていて、 $\cos$ の加法定理は $\sin$ の加法定理により導かれていることに 注意する。

加法定理 (1), (2) は $\alpha$, $\beta$ に ついて対称なので、$P_2$ の代わりに

$P_3$ : 「 $\mbox{$0^\circ$}\leq\alpha<\mbox{$90^\circ$}$ かつ $\mbox{$90^\circ$}\leq\beta<\mbox{$180^\circ$}$」

とした場合も、上と同じように加法定理の成立を示すことができることになる。

さらに、

$P_4$ : 「 $\mbox{$90^\circ$}\leq\alpha<\mbox{$180^\circ$}$ かつ $\mbox{$90^\circ$}\leq\beta<\mbox{$180^\circ$}$」

の場合を考えると、 $\gamma=\alpha-\mbox{$90^\circ$}$ とすれば、 $\gamma$, $\beta$ は $P_3$ の状態になり、$\gamma$, $\beta$ に対し 加法定理は成立するので、よって上と同じ計算によって $\alpha$, $\beta$ に対する加法定理の成立を示すことができる。

これで、$P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ により、

$P_5$ : 「 $\mbox{$0^\circ$}\leq\alpha<\mbox{$180^\circ$}$ かつ $\mbox{$0^\circ$}\leq\beta<\mbox{$180^\circ$}$」

の場合に (1), (2) が成り立つことが示された。