4 角の拡張その 2

3 節の論法はさらに繰り返すことができる。 すなわち、

$P_6$ : 「 $\mbox{$180^\circ$}\leq\alpha<\mbox{$270^\circ$}$ かつ $\mbox{$0^\circ$}\leq\beta<\mbox{$180^\circ$}$」

の場合に加法定理が成立することが、3 節と 同じ論法で (具体的な計算なしに) 示され、同様に、

$P_7$ : 「 $\mbox{$0^\circ$}\leq\alpha<\mbox{$180^\circ$}$ かつ $\mbox{$180^\circ$}\leq\beta<\mbox{$270^\circ$}$」,
$P_8$ : 「 $\mbox{$180^\circ$}\leq\alpha<\mbox{$270^\circ$}$ かつ $\mbox{$180^\circ$}\leq\beta<\mbox{$270^\circ$}$」

の場合に成立することも、同じ論法で (具体的な計算なしに) 示されるので、 結局

$P_9$ : 「 $\mbox{$0^\circ$}\leq\alpha<\mbox{$270^\circ$}$ かつ $\mbox{$0^\circ$}\leq\beta<\mbox{$270^\circ$}$」

で加法定理が成立することになる。

これを無限に (厳密には帰納法で) 繰り返すことですべての $0^\circ$ 以上の角に 対する加法定理の成立を示すこともできるのであるが、 とりあえずはもう 1 回だけ繰り返すことで、

$P_{10}$ : 「 $\mbox{$0^\circ$}\leq\alpha<\mbox{$360^\circ$}$ かつ $\mbox{$0^\circ$}\leq\beta<\mbox{$360^\circ$}$」

で (1), (2) が成立することまでは言える。 あとは、$\sin$, $\cos$ の周期性

$$\sin(\theta+\mbox{$360^\circ$}n) = \sin\theta, \hspace{1zw}\cos(\theta+\mbox{$360^\circ$}n) = \cos\theta \hspace{1zw}(\mbox{$n$\ は任意の整数})$$ (5)

を用いる。すなわち、任意の角 $\alpha$, $\beta$ に対し、

$$\left\{\begin{array}{ll} \alpha=\gamma+\mbox{$360^\circ$}m, & \... ...0^\circ$}n, & \mbox{$0^\circ$}\leq\delta<\mbox{$360^\circ$} \end{array}\right.$$ (6)

となる角 $\gamma,\delta$, 整数 $m,n$ が取れ、 $\gamma,\delta$ に対しては加法定理が成立しているので、

	$$\sin(\alpha+\beta)$$	$=$	$$\sin(\gamma+\delta+\mbox{$360^\circ$}(m+n)) \ =\ \sin(\gamma+\delta),$$
	$$\cos(\alpha+\beta)$$	$=$	$$\cos(\gamma+\delta+\mbox{$360^\circ$}(m+n)) \ =\ \cos(\gamma+\delta),$$
	$$\sin\gamma$$	$=$	$$\sin\alpha,\hspace{1zw}\cos\gamma \ =\ \cos\alpha,$$
	$$\sin\delta$$	$=$	$$\sin\beta,\hspace{1zw}\cos\delta \ =\ \cos\beta$$

より、

	$$\sin(\alpha+\beta)$$	$=$	$$\sin(\gamma+\delta) = \sin\gamma\cos\delta + \cos\gamma\sin\delta = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$
	$$\cos(\alpha+\beta)$$	$=$	$$\cos(\gamma+\delta) = \cos\gamma\cos\delta - \sin\gamma\sin\delta = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$

となり $\alpha$, $\beta$ に対しても加法定理が成立することがわかる

これで、すべての一般角に対して加法定理 (1), (2) が成立することが示された。