5 複素版

実は、三角関数は「複素関数論」では複素数変数にまで拡張されていて、 そこでも加法定理が成り立つことがわかっている。 それもついでに紹介する。

複素数 $z=x+iy$ ($x,y$ は実数、$i=\sqrt{-1}$) に対して、

	$$\sin z$$	$=$	$$\sin (x+iy) \ =\ \frac{e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}}{2i}$$
		$=$	$$\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\,\sin x+i\,\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\,\cos x \ =\ \cosh y\sin x+i\,\sinh y\cos x$$	(7)
	$$\cos z$$	$=$	$$\cos (x+iy) \ =\ \frac{e^{i(x+iy)}+e^{-i(x+iy)}}{2}$$
		$=$	$$\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\,\cos x-i\,\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\,\sin x \ =\ \cosh y\cos x-i\,\sinh y\sin x$$	(8)

のように定義される。なお、$\cosh y$, $\sinh y$ は

$$\cosh y = \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}, \hspace{1zw}\sinh y = \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$$

で定義される双曲線関数と呼ばれるものである。

この (7),(8) に対しても 加法定理 (1), (2) が成立することを 計算で直接示す。 $\alpha=p+qi$, $\beta=s+ti$ ($p,q,s,t$ は実数) とする。

	$$\sin\alpha\cos\beta$$	$=$	$$\sin(p+qi)\cos(s+ti)$$
		$=$	$$(\cosh q\sin p+i\sinh q\cos p)(\cosh t\cos s-i\sinh t\sin s)$$
		$=$	$$\cosh q\cosh t\sin p\cos s+\sinh q\sinh t\cos p\sin s$$
			$$+i(-\cosh q\sinh t\sin p\sin s+\sinh q\cosh t\cos p\cos s),$$
	$$\cos\alpha\sin\beta$$	$=$	$$\cos(p+qi)\sin(s+ti)$$
		$=$	$$(\cosh q\cos p-i\sinh q\sin p)(\cosh t\sin s+i\sinh t\cos s)$$
		$=$	$$\cosh q\cosh t\cos p\sin s + \sinh q\sinh t\sin p\cos s$$
			$$+i(\cosh q\sinh t\cos p\cos s -\sinh q\cosh t\sin p\sin s)$$

よって、

	$${\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta }$$
		$=$	$$(\cosh q\cosh t + \sinh q\sinh t)(\sin p\cos s+\cos p\sin s)$$
			$$+i(\sinh q\cosh t+\cosh q\sinh t)(\cos p\cos s - \sin p\sin s)$$
		$=$	$$(\cosh q\cosh t + \sinh q\sinh t)\sin(p+s)$$
			$$+i(\sinh q\cosh t+\cosh q\sinh t)\cos(p+s)$$

となる。ここで、

	$${\cosh q\cosh t + \sinh q\sinh t \ =\ \frac{e^{q}+e^{-q}}{2}\,\frac{e^{t}+e^{-t}}{2} +\frac{e^{q}-e^{-q}}{2}\,\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}}$$
		$=$	$$\frac{e^{q+t}+e^{-q-t}}{2} \ =\ \cosh(q+t),$$
	$${\sinh q\cosh t + \cosh q\sinh t \ =\ \frac{e^{q}-e^{-q}}{2}\,\frac{e^{t}+e^{-t}}{2} +\frac{e^{q}+e^{-q}}{2}\,\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}}$$
		$=$	$$\frac{e^{q+t}-e^{-q-t}}{2} \ =\ \sinh(q+t)$$

なので、

	$${\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \ =\ \cosh(q+t)\sin(p+s) +i\sinh(q+t)\cos(p+s)}$$
		$=$	$$\sin\Bigl((p+s)+(q+t)i\Bigr) \ =\ \sin(\alpha+\beta)$$

となって $\sin$ の加法定理が得られる。

次は $\cos$ の加法定理。

	$$\cos\alpha\cos\beta$$	$=$	$$\cos(p+qi)\cos(s+ti)$$
		$=$	$$(\cosh q\cos p-i\sinh q\sin p)(\cosh t\cos s-i\sinh t\sin s)$$
		$=$	$$\cosh q\cosh t\cos p\cos s-\sinh q\sinh t\sin p\sin s$$
			$$-i(\cosh q\sinh t\cos p\sin s+\sinh q\cosh t\sin p\cos s),$$
	$$\sin\alpha\sin\beta$$	$=$	$$\sin(p+qi)\sin(s+ti)$$
		$=$	$$(\cosh q\sin p+i\sinh q\cos p)(\cosh t\sin s+i\sinh t\cos s)$$
		$=$	$$\cosh q\cosh t\sin p\sin s - \sinh q\sinh t\cos p\cos s$$
			$$+i(\cosh q\sinh t\sin p\cos s +\sinh q\cosh t\cos p\sin s)$$

よって、

	$${\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta }$$
		$=$	$$(\cosh q\cosh t + \sinh q\sinh t)(\cos p\cos s - \sin p\sin s)$$
			$$-i(\sinh q\cosh t+\cosh q\sinh t)(\cos p\sin s + \sin p\cos s)$$
		$=$	$$\cosh(q+t)\cos(p+s) -i\sinh(q+t)\sin(p+s)$$
		$=$	$$\cos\Bigl((p+s)+(q+t)i\Bigr) \ =\ \cos(\alpha+\beta)$$

となって $\cos$ の加法定理も得られる。