5 平均値の漸化式

次は、$M_n$ に関する漸化式を考えてみよう。

$n\geq 2$ の場合、3 節の $I_n$ の計算と同様に $\omega=(n_1,\omega')$ のように分けて考えると、

$$M_n = E[X_n] = \sum_{\omega\in\Omega_n} X_n(\omega)P_n(\omega) ... ...m_{n_1=1}^n\sum_{\omega'\in\Omega_{n_1}} X_n((n_1,\omega'))P_n((n_1,\omega'))$$

となるが、$n_1=1$ の場合も含めて $X_n((n_1,\omega'))=X_{n_1}(\omega')+1$ で、 $P_n((n_1,\omega')) = p^{(n)}_{n_1}P_{n_1}(\omega')$ なので、

	$$M_n$$	$=$	$$\sum_{n_1=1}^np^{(n)}_{n_1}\sum_{\omega'\in\Omega_{n_1}} \{X_{n_1... ...(\omega')+P_{n_1}(\omega')\} \ =\ \sum_{n_1=1}^np^{(n)}_{n_1}(M_{n_1}+I_{n_1})$$
		$=$	$$\sum_{n_1=1}^np^{(n)}_{n_1}M_{n_1}+\sum_{n_1=1}^np^{(n)}_{n_1} \ =\ \sum_{n_1=1}^np^{(n)}_{n_1}M_{n_1}+1$$	(15)

となる。よって、$n_1=n$ の項を左辺に移項すると、

$$(1-p^{(n)}_{n})M_n = \sum_{n_1=1}^{n-1}p^{(n)}_{n_1}M_{n_1}+1$$

より、$n\geq 2$ に対する漸化式

$$M_n = \frac{1}{1-p^{(n)}_{n}}\Biggl(\sum_{n_1=1}^{n-1} p^{(n)... ...\sum_{n_1=1}^{n-1}{}_{n}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{n_1}M_{n_1} +3^{n-1}\Biggr)$$ (16)

が得られる。 なお、$M_1=0$ なので、この和は $n_1\geq 2$ に書き換えてもよい。 また、(16) の導出の前に $p^{(n)}_nM_n$ を移項したが、 そこで $M_n$ が有限であることを仮定したことになる。 その $M_n$ の有限性の保証については、後で別に示すことにする。

(16) で $n=2$ とすると、

$$M_2 = \frac{{}_{2}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{1}M_1+3}{4-2} = \frac{3}{2}$$

となり、(3) に一致する。

$n=3$ とすると、

$$M_3 = \frac{{}_{3}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{2}M_2+3^2}{2^3-2} = \frac{M_2+3}{2} = \frac{9}{4}$$

となり (4) に一致するし、 (2) と同じ漸化式が得られていることもわかる。 同様に、

	$$M_4$$	$=$	$$\frac{{}_{4}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{2}M_2+{}_{4}\hspace{-.02em... ...{C}_{3}M_3+3^3}{2^4-2} \ =\ \frac{6M_2+4M_3+27}{14} \ =\ \frac{1}{14}(9+9+27)$$
		$=$	$$\frac{45}{14} = 3.214,$$
	$$M_5$$	$=$	$$\frac{{}_{5}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{2}M_2+{}_{5}\hspace{-.02em... ...space{-.02em}\mathrm{C}_{4}M_4+3^4}{2^5-2} \ =\ \frac{10M_2+10M_3+5M_4+81}{30}$$
		$=$	$$\frac{1}{30}\left(15+\frac{45}{2}+\frac{225}{14}+81\right) \ =\ \frac{157}{35} \ =\ 4.486,$$
	$$M_6$$	$=$	$$\frac{{}_{6}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{2}M_2+\cdots+{}_{6}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{5}M_5+3^5}{2^6-2} \ =\ \frac{15M_2+20M_3+15M_4+6M_5+243}{62}$$
		$=$	$$\frac{1}{62}\left(\frac{45}{2}+45+\frac{675}{14}+\frac{942}{35}+243\right) \ =\ \frac{13497}{2170} = 6.220,$$
	$$M_7$$	$=$	$$\frac{{}_{7}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{2}M_2+\cdots+{}_{7}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{6}M_6+3^6}{2^7-2}$$
		$=$	$$\frac{21M_2+35M_3+35M_4+21M_5+7M_6+729}{126}$$
		$=$	$$\frac{1}{126}\left(\frac{63}{2}+\frac{315}{4}+\frac{225}{2}+\frac{471}{5} +\frac{13497}{310}+729\right) \ =\ \frac{225161}{26040} = 8.647,$$
	$$M_8$$	$=$	$$\frac{{}_{8}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{2}M_2+\cdots+{}_{8}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{7}M_7+3^7}{2^8-2}$$
		$=$	$$\frac{28M_2+56M_3+70M_4+56M_5+28M_6+8M_7+2187}{254}$$
		$=$	$$\frac{1}{254}\left(42+126+225+\frac{1256}{5}+\frac{26994}{155} +\frac{225161}{3255}+2187\right)$$
		$=$	$$\frac{10007591}{826770} = 12.104,$$
	$$M_9$$	$=$	$$\frac{{}_{9}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{2}M_2+\cdots+{}_{9}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{8}M_8+3^8}{2^9-2}$$
		$=$	$$\frac{36M_2+84M_3+126M_4+126M_5+84M_6+36M_7+9M_8+6561}{510}$$
		$=$	$$\frac{1}{510}\left(54+189+405+\frac{2826}{5}+\frac{80982}{155} +\frac{675483}{2170}+\frac{30022773}{275590}\right.$$
			$$+6561\Bigr) \ =\ \frac{200190574}{11712575} = 17.092,$$
	$$M_{10}$$	$=$	$$\frac{{}_{10}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{2}M_2+\cdots+{}_{10}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{9}M_9+3^9}{2^{10}-2}$$
		$=$	$$\frac{1}{1022}(45M_2+120M_3+210M_4+252M_5+210M_6+120M_7+45M_8$$
			$$+10M_9+19683)$$
		$=$	$$\frac{1}{1022}\left(\frac{135}{2}+270+675+\frac{5652}{5}+\frac{40491}{31} +\frac{225161}{217}+\frac{30022773}{55118}\right.$$
			$$\left.+\frac{400381148}{2342515}+19683\right) \ =\ \frac{8327737507}{342007190} = 24.350$$

のようになる。なお、分数計算は、途中から手計算はあきらめて Maxima に 手伝ってもらった。

これだと 10 人のジャンケンで 1 人の勝者を決めるには、 平均 24 回のジャンケンが必要で、 確かになかなか終わらないことがわかる。