4 回数の確率変数と平均値

現代流の確率論では、「確率変数」は確率空間 $\Omega_n$ 上の関数であり、 今回の問題の 1 人勝ちまでのジャンケンの回数を確率変数 $X_n=X_n(\omega)$ と すると、 $X_n(\omega) = X_n((n_1,n_2,\ldots))$ の値は、

• $n=1$ のときは最初から 1 人なので $X_1(w)=X_1((1,1,\ldots))=0$
• $n>1$ のときは、 $\omega=(n_1,n_2,\ldots)$ が $n_k>n_{k+1}=1$ となる 場合は $X_n(\omega)=k+1$
• $n>1$ で、すべての $n_k$ が 1 より大きい場合 (ある 1 より大きい値が 無限に続く場合) は $X_n(\omega)=\infty$

となる。

なお、上の $n=1$ の場合と、$n>1$ に対する $X_n((1,1,\ldots))$ は 異なることに注意する。後者は、最初は $n$ 人で、1 回目のジャンケンで $n_1=1$ になった状態だから、 $X_n((1,1,\ldots))=1$ となる。

さて、この $X_n$ の平均値 $M_n=E[X_n]$ を考えてみよう。 $n=1$ の場合は、$X_1=0$ なので、当然 $M_1=0$ である。

$n=2$ の場合は、

$$M_2=E[X_2]=\sum_{\omega\in\Omega_2}X_2(\omega)P_2(\omega)$$ (14)

となる。ここで、$\Omega_2$ の事象は、2 が $k$ 回続く $\omega_k$ と、 無限に続く $\omega_\infty$ のみ:

$$\omega_k=(2,2,\ldots,2,1,1,\ldots)\ (k\geq 0), \hspace{1zw}\omega_\infty=(2,2,\ldots)$$

であり、その確率は

$$P_2(\omega_k) = (p^{(2)}_2)^k\times p^{(2)}_1 = \left(1-\frac{2}{3}\right)^k\frac{2}{3}=\frac{2}{3^{k+1}}, \hspace{1zw}P_2(\omega_\infty) = 0$$

となる。$k\geq 0$ に対して $X_2(\omega_k)=k+1$ なので、 (14) は、

	$$M_2$$	$=$	$$\sum_{k=0}^\infty X_2(\omega_k)P_2(\omega_k) \ =\ \sum_{k=0}^\in... ...rac{1}{3-1}\sum_{k=0}^\infty (k+1) \left(\frac{2}{3^k}-\frac{2}{3^{k+1}}\right)$$
		$=$	$$\sum_{k=0}^\infty\frac{k+1}{3^k}-\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{3^k} \... ...\frac{1}{3}}{\displaystyle 1-\frac{1}{3}} \ =\ 1+\frac{1}{2} \ =\ \frac{3}{2}$$

となって (3) に一致する。

$n=2$ 位だと直接 $M_n$ をこのように計算することもできるが、 $n$ が大きくなると $\Omega_n$ の事象の種類が増え、 それらを直接 (14) のような式で計算するのは難しい。