6 分散

本稿では、確率空間と確率変数をちゃんと設定しているので、 それに基づいて、平均だけでなく分散なども計算できる。 分散 $\sigma_n^2=V[X_n]$ は、

$$\sigma_n^2=V[X_n] = E[(X_n-M_n)^2] = E[X_n^2]-E[X_n]^2$$

で計算ができるので、とりあえず 2 乗の平均 $S_n=E[X_n^2]$ を 考えてみる。前節と同じように変形すると、

	$$S_n$$	$=$	$$E[X_n^2] = \sum_{\omega\in\Omega_n} X_n(\omega)^2P_n(\omega) = \sum_{n_1=1}^n\sum_{\omega'\in\Omega_{n_1}} X_n((n_1,\omega'))^2P_n((n_1,\omega'))$$
		$=$	$$\sum_{n_1=1}^np^{(n)}_{n_1}\sum_{\omega'\in\Omega_{n_1}} \{X_{n_1}(\omega')+1\}^2P_{n_1}(\omega')$$
		$=$	$$\sum_{n_1=1}^np^{(n)}_{n_1}\sum_{\omega'\in\Omega_{n_1}} \{X_{n_1}(\omega')^2+2X_{n_1}(\omega')+1\}P_{n_1}(\omega')$$
		$=$	$$\sum_{n_1=1}^np^{(n)}_{n_1}(S_{n_1} + 2M_{n_1} + I_{n_1}) \ =\ \sum_{n_1=1}^np^{(n)}_{n_1}S_{n_1} + 2\sum_{n_1=1}^np^{(n)}_{n_1}M_{n_1} + 1$$

となるが、$M_{n_1}$ に関する和の項は (15) により $2(M_n-1)$ に等しいので、

$$S_n = \sum_{n_1=1}^np^{(n)}_{n_1}S_{n_1} + 2M_n-1$$

となり、よって、$S_n$ に関する漸化式

	$$S_n$$	$=$	$$\frac{1}{1-p^{(n)}_n}\Biggl( \sum_{n_1=1}^{n-1}p^{(n)}_{n_1}S_{n_1}+2M_n-1\Biggr)$$
		$=$	$$\frac{1}{2^n-2}\Biggl( \sum_{n_1=1}^{n-1}{}_{n}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{n_1}S_{n_1}+3^{n-1}(2M_n-1)\Biggr)$$

が成り立ち、さらに $\sigma_m^2=S_m-M_m^2$ により、 $\sigma_n^2$ に関する漸化式

$$\sigma_m^2 = \frac{1}{2^n-2}\left\{\sum_{n_1=1}^{n-1} {}_{n}\h... ...2em}\mathrm{C}_{n_1}(\sigma_{n_1}^2+M_{n_1}^2)+3^{n-1}(2M_n-1)\right\} - M_n^2$$

が得られる。 例えば、

	$$\sigma_1^2$$	$=$	$$E[X_1]^2-E[X_1]^2 = 0,$$
	$$\sigma_2^2$$	$=$	$$\frac{1}{4-2}\{0+3(2M_2-1)\}-M_2^2 \ =\ 3 -\frac{9}{4} \ =\ \frac{3}{4},$$
	$$\sigma_3^2$$	$=$	$$\frac{1}{2^3-2}\{{}_{3}\hspace{-.02em}\mathrm{C}_{2}(\sigma_2^2+M_2^2)+9(2M_3-1)\}-M_3^2$$
		$=$	$$\frac{1}{6}\left\{3\Bigl(\frac{3}{4}+\frac{9}{4}\Bigr) +9\Bigl(\frac{9}{2}-1\Bigr)\right\}-\frac{81}{16} \ = \ \frac{27}{16}$$

といった具合である。