5 複素形

(3), (5) の $J_{n+1/2}(x)$, $N_{n+1/2}(x)$ の式、 および $\phi_n$, $\psi_n$ の漸化式 (6) は 複素数を使うと多少簡単な式にまとめることもできる。 本節でそれを紹介する。

$$\xi_n (x) = \phi_n(x) + i\psi_n(x), \hspace{1zw} M_\nu(x) = J_\nu(x) + iN_{\nu}(x)$$

とすると、(3), (5) より、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\sqrt{\frac{\pi x}{2}}\,x^n M_{n+1/2}(x)} \\ &=& \ph... ...+1)\pi/2)}(\phi_n(x)+i\psi_n(x)) \ =\ e^{ix}(-i)^{n+1}\xi_n(x)\end{eqnarray*}$$

となるので、

  $$M_{n+1/2}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,\frac{(-i)^{n+1}}{x^n}\,e^{ix}\xi_n(x)$$ (8)

の形に表される。漸化式 (6) の方は、

$$\begin{eqnarray*}\xi_n(x) &=& \phi_n(x)+i\psi_n(x) \\ &=& (2n-1)(-\psi_{n-1}(x)+i\phi_{n-1}(x)) + x^2(\phi_{n-2}(x)+i\psi_{n-2}(x))\end{eqnarray*}$$

より、

  $$\xi_n(x) = i(2n-1)\xi_{n-1}(x) + x^2\xi_{n-2}(x)\hspace{1zw}(n\geq 2)$$ (9)

となることがわかる。 (4) より $\xi_0(x)=1$, $\xi_1(x)=x+i$ なので、 これで $\xi_n$ が帰納的に計算できることになる。

元々 (2) より、

$$M_{n+1/2}(x) = (-1)^n\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,x^{n+1} \left(\frac{1}{x}\,\frac{d}{dx}\right)^n\frac{\sin x-i\cos x}{x}$$

$$= (-1)^{n+1}i\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,x^{n+1} \left(\frac{1}{x}\,\frac{d}{dx}\right)^n\frac{e^{ix}}{x}$$ (10)

なので、複素数を使って自然にひとつにまとまる形をしている。 容易に、

  $$\left(\frac{1}{x}\,\frac{d}{dx}\right)^n\frac{e^{ix}}{x} =\frac{\eta_n(x)}{x^{2n+1}}\,e^{ix} \hspace{1zw}(\mbox{$\eta_n(x)$\ は複素数係数の多項式})$$ (11)

の形になることがわかるので、(10) より

$$M_{n+1/2}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\, \frac{(-1)^{n+1}i}{x^n}\,e^{ix}\eta_n(x)$$

となるから、(8) より

$$\eta_n(x) = i^n\xi_n(x)$$

となることがわかる。 つまり、$\eta_n$ を求めることと $\xi_n$ を求めることはほぼ同等である。

ところが、$\eta_n$ に関する漸化式を (11) から 作ろうとすると、$\eta_n$ に関する微分の関係式になってしまって、 計算にはあまり都合はよくない。