次は、この漸化式を用いて、3 節最後の 1., 2., 4. を 示していこう。
まずは 1. の次数であるが、 では成立している。
(6) から、
の方 (1 本目) は、
帰納法で考えれば右辺は
次式と
次式の和になるので、
確実に
次式となるが、問題は
の方 (2 本目) で、
これは右辺が
式と
次式の和なので、
最高次の係数が 0 でないことをちゃんと示す必要がある。
よって、1. をさらに詳しく、
として、この係数は、
の係数が
である高々
次式、
は、
の係数が
である高々
次式 (
)
漸化式 (6) より、,
については、
以下の漸化式が成り立つことがわかる。
(4) により、,
なので、
がすべての
に対して成り立つ。
は、
が偶数、奇数で分けると
,
より、
奇関数、偶関数の関係 2. は、(6) と 帰納法で容易に示すことができるので、説明は省略する。
最後に、4. の、ノイマン関数に対する (5) を示す。
に対しては、(5) は
成り立っているから、あとは帰納法を用いる。
すなわち、(5) が
まで
成り立っているとする (
) と、
に対しては、
漸化式 (1) より、
竹野茂治@新潟工科大学