4 条件 II

条件 II も条件 I とほぼ同様であり、 (7) が成り立てば、定理 1 より

$$L\geq N$$ (12)

が必要で、$AB$ の $q_{m+1,n+1}$ 成分は

$$q_{m+1,n+1} = \sum_{k=0}^{L-1}e^{-s_mx_ki}e^{s_nx_ki} = \sum_{k=0}^{L-1}\left\{e^{(n-m)\Delta s\Delta xi}\right\}^k$$ (13)

なので、対角成分は

$$q_{m+1,m+1} = \sum_{k=0}^{L-1} 1 = L$$ (14)

となって、よって (7) が成り立てば

$$L\Delta s\Delta x = 2\pi$$ (15)

となる。逆に、(12) と (15) が 満たされれば、 $0\leq m,n\leq N-1$ に対して

$$\vert(n-m)\Delta s\Delta x\vert\leq (N-1)\Delta s\Delta x=2\pi\frac{N-1}{L} < 2\pi$$

なので対角成分以外では (13) の公比は 1 ではなく、 $m\neq n$ に対し、(15) より

$$q_{m+1,n+1} = \frac{e^{(n-m)L\Delta s\Delta xi}-1}{e^{(n-m)\Delta s\Delta xi}-1} = \frac{e^{2\pi(n-m)i}-1}{e^{2\pi(n-m)i/L}-1} = 0$$

となるので、(15) より

$$AB = LE = \frac{2\pi}{\Delta s\Delta x}E$$

となって (7) が得られる。

よって、条件 II は 「(12) かつ (15)」 であることがわかる。

結果として、条件 I, 条件 II の両方を満たすのは、

$$N = L = \frac{2\pi}{\Delta s\Delta x}$$ (16)

のときになり、この場合 (1), (2) は、 $\alpha = 1/(N\Delta x)$ とすれば、

$$F(s_n) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} f(x_k)e^{-2\pi nki/N}, \hspace{1zw}f(x_k) = \sum_{n=0}^{N-1} F(s_n)e^{2\pi nki/N}$$ (17)

となる。 これらをそれぞれ「離散フーリエ変換 (DFT)」 「離散フーリエ逆変換 (IDFT)」と呼ぶ。 なお、$\alpha$ は $\alpha=1/\Delta x$ と取る流儀もあり、 その場合は $1/N$ は DFT ではなく IDFT の方につくことになる。