3 条件 I

線形代数学で、次の事が知られている。

定理 1.

$A$ が $m\times n$ 行列、$B$ が $n\times m$ 行列のとき、 $AB$ は $m\times m$ 行列で、その行列式は

$$\vert AB\vert=\left\{\begin{array}{ll} 0 & (m>n\mbox{ のとき})\\ ... ...t\vert B^{(j_1,\ldots,j_m)}\right\vert & (m<n\mbox{ のとき}) \end{array}\right.$$

となる。ここで、 $A_{(j_1,\ldots,j_m)}$ は $A$ の $j_1,\ldots,j_m$ 列からなる小行列、 $B^{(j_1,\ldots,j_m)}$ は $B$ の $j_1,\ldots,j_m$ 行からなる小行列。

まず、条件 I を考える。 $B$ は $L\times N$ 行列、$A$ は $N\times L$ 行列で、 (6) が成り立つとすると右辺の行列式は 0 でないので、 よって定理 1 より

$$N\geq L$$ (8)

でなければいけないことがわかる。 また、$BA$ の $(j,k)$ 成分を $p_{j,k}$ とすると、

$$p_{j+1,k+1} = \sum_{n=0}^{N-1}e^{s_nx_ji}e^{-s_nx_ki} = \sum_... ...s(j-k)\Delta xi} = \sum_{n=0}^{N-1}\left\{e^{(j-k)\Delta s\Delta xi}\right\}^n$$ (9)

となるから、その対角成分は

$$p_{j+1,j+1} = \sum_{n=0}^{N-1} 1 = N$$ (10)

となる。よって、(6) が成り立つならば

$$N\Delta s\Delta x = 2\pi$$ (11)

であることになる。

逆に、(8) と (11) が満たされると (6) が得られることを次に示す。

(8), (11) より、 $0\leq j,k\leq L-1$ に対して、

$$\vert(j-k)\Delta s\Delta x\vert \leq (L-1)\Delta s\Delta x = 2\pi\frac{L-1}{N} < 2\pi$$

となるので、 $e^{(j-k)\Delta s\Delta x i}=1$ となるのは $j=k$ のときのみ。 よって、$BA$ の成分は、対角成分は (10) より $N$ に等しく、 $j\neq k$ のときは (9), (11) より、

$$p_{j+1,k+1} = \frac{e^{(j-k)N\Delta s\Delta xi}-1}{e^{(j-k)\Delta s\Delta xi}-1} = \frac{e^{2\pi(j-k)i}-1}{e^{2\pi(j-k)i/N}-1} = 0$$

となる。よって、(11) より、

$$BA = NE = \frac{2\pi}{\Delta s\Delta x} E$$

となって (6) が得られる。

すなわち、 条件 I は、「(8) かつ (11)」 であることがわかる。