2 直角未満の角の場合

[1] の 2 節で、図による三角関数の加法定理

	$$\sin(\alpha+\beta)$$	$=$	$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$	(1)
	$$\cos(\alpha+\beta)$$	$=$	$$\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$	(2)

の証明を 2 種類紹介したが、後者の方法を用いると、 $\mbox{$0^\circ$}<\alpha<\mbox{$90^\circ$}$, $\mbox{$0^\circ$}<\beta<\mbox{$90^\circ$}$ となるすべての $\alpha$, $\beta$ に対する $\sin$ と $\cos$ の加法定理の証明が 得られることがわかる。

なお、[1] では $\cos$ の加法定理は余弦定理で、 $\sin$ の加法定理は面積公式で証明したが、 $\sin$ の加法定理は正弦定理で証明することもできる。

すなわち、

$$\frac{\mathrm{BC}}{\sin A} = \frac{\mathrm{AB}}{\sin C}$$

より、

$$\frac{\tan x+\tan y}{\sin(x+y)} = \frac{1}{\cos x}\times\frac{1}{\sin(\mbox{$90^\circ$}-y)} =\frac{1}{\cos x\cos y}$$

となるので、

$$\sin(x+y) = (\tan x+\tan y)\cos x\cos y = \sin x\cos y+\cos x\sin y$$ (3)

となって $\sin$ の加法定理が得られる。

なお、(1), (2) は、 [1] の図による証明の段階では 「 $\mbox{$0^\circ$}<\alpha<\mbox{$90^\circ$}$ かつ $\mbox{$0^\circ$}<\beta<\mbox{$90^\circ$}$」で 成り立つことが保証されるわけだが、 ここでこの $\alpha$, $\beta$ の範囲を $0^\circ$ にまで拡張しておく。

$\alpha=\mbox{$0^\circ$}$ の場合 (1), (2) は

$$\sin\beta=\sin\mbox{$0^\circ$}\cos\beta+\cos\mbox{$0^\circ$}\sin\... ...pace{1zw}\cos\beta=\cos\mbox{$0^\circ$}\cos\beta-\sin\mbox{$0^\circ$}\sin\beta$$

となるが、 $\cos\mbox{$0^\circ$}=1$, $\sin\mbox{$0^\circ$}=0$ よりこれらは当然成立する。

$\beta=\mbox{$0^\circ$}$ の場合は、(1), (2) は $\alpha,\beta$ に対称な式なので、上の論法の $\beta$ が $\alpha$ に 変わるだけであるから当然成立する。これで (1), (2) が

$P_1$ : 「 $\mbox{$0^\circ$}\leq\alpha<\mbox{$90^\circ$}$ かつ $\mbox{$0^\circ$}\leq\beta<\mbox{$90^\circ$}$」

で成立することが示された。

なお、厳密に言えば、上では $\alpha=\mbox{$0^\circ$}$ のときは すべての一般角の $\beta$ に対して成立することが示され、 $\beta=\mbox{$0^\circ$}$ のときはすべての一般角の $\alpha$ に対して成立することが 示されたのだが、多少損をして、$P_1$ の範囲で成り立つといっても 間違いではない。