4 不変領域

Riemann 不変量 $w$, $z$ に対して、後で「不変領域」として使用する 次のような領域を考える。

  $$\Sigma(w_0,z_0) = \{U;\ w(U)\leq w_0,\ z(U)\geq z_0\}$$ (14)

なお、本稿ではこの $w_0$, $z_0$ は、 ある $U_0$ に対して $w_0=w(U_0)$, $z_0=z(U_0)$ であるもののみを考える。 $G(+\infty)=\infty$ であれば任意の $w_0$, $z_0$ ($w_0>z_0$) に 対してそのような $U_0$ が常にみつかるが、 $G(+\infty)<\infty$ の場合はそうとは限らないことに注意せよ (本稿では、$P$ に関する条件として $G(+\infty)=\infty$ は仮定していない)。

領域 $\Sigma (w_0,z_0)$ に $U$ が入る条件は、$\rho$, $u$ で考えると

$$u+G(\rho)\leq w_0 = u_0 + G(\rho_0), \hspace{1zw}u-G(\rho)\geq z_0 = u_0 - G(\rho_0)$$

という不等式となり、これは

$$\vert u-u_0\vert\leq G(\rho_0)-G(\rho)$$

と書ける。 $G'(\rho)=C(\rho)/\rho>0$ ($\rho>0$) なので、 この不等式は $0\leq\rho\leq\rho_0$ の範囲のみで意味を持ち、 よって (14) は

  $$\Sigma(w_0,z_0) = \{U;\ \vert u-u_0\vert\leq G(\rho_0)-G(\rho), \ 0\leq\rho\leq\rho_0\}$$ (15)

と書くこともできる。 この領域は、$(w,z)$, $(\rho ,u)$, $(\rho ,m)$ の座標軸では、それぞれ 図 1$\sim$3 のように なる (厳密な図ではなく、おおよその図)。

図 1: $(w,z)$ 座標での $\Sigma (w_0,z_0)$

図 2: $(\rho ,u)$ 座標での $\Sigma (w_0,z_0)$

図 3: $(\rho ,m)$ 座標での $\Sigma (w_0,z_0)$

これらの図からもわかるが、 $(w,z)$, $(\rho ,u)$ 座標系での $w=z$、すなわち $\rho=0$ 上の線分は、 本来の $U$ である $(\rho ,m)$ 座標系では原点 1 点に対応することに 注意する。

今、この領域 $\Sigma (w_0,z_0)$ での固有値の絶対値の上限を、 $\Lambda(w_0,z_0)$ と書くことにする:

  $$\Lambda(w_0,z_0) = \sup\{\vert\lambda_j(U)\vert;\ j=1,2,\ U\in\Sigma(w_0,z_0)\}$$ (16)

(15) より、 $\Sigma (w_0,z_0)$ での $\max\{\vert\lambda_1(U)\vert,\vert\lambda_2(U)\vert\}=\vert u\vert+C(\rho)$ の最大値は、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\max\{u_0+G(\rho_0)-G(\rho)+C(\rho), -u_0+G(\rho_0)-G(\rho)+C(\rho)\}} \\ &=& \vert u_0\vert+G(\rho_0)+C(\rho)-G(\rho)\end{eqnarray*}$$

の $0\leq\rho\leq\rho_0$ での最大値に等しく、 よって $\Lambda(w_0,z_0)$ は

  $$\Lambda(w_0,z_0) = \vert u_0\vert+G(\rho_0)+\sup\{C(\rho)-G(\rho);\ 0\leq\rho\leq\rho_0\}$$ (17)

となることがわかる。例えば $P=A\rho^\gamma$, $\gamma>1$ (等エントロピー) の場合は、

$$C(\rho) = \alpha\rho^\theta, \hspace{1zw}G(\rho)=\frac{\alph... ...=\sqrt{A\gamma},\hspace{0.5zw}\theta=\frac{\gamma-1}{2}\right)$$

なので、$\gamma\leq 3$ ならば $0<\theta\leq 1$ より

$$C(\rho)-G(\rho) = -\alpha\frac{1-\theta}{\theta}\rho^\theta\leq 0$$

となり、よって

  $$\Lambda(w_0,z_0) = \vert u_0\vert+G(\rho_0) = \max\{w_0,-z_0\}$$ (18)

に等しい。また、$\gamma>3$ ならば $\theta>1$ より

$$C(\rho)-G(\rho) = \alpha\frac{\theta-1}{\theta}\rho^\theta \in [0,C(\rho_0)-G(\rho_0)]$$

なので、

  $$\Lambda(w_0,z_0) = \vert u_0\vert+C(\rho_0) = \max\{-\lambda_1(U_0),\lambda_2(U_0)\}$$ (19)

となる。しかし、一般には $(C-G)$ は単調とは限らず、 よって、(17) は (18), (19) のような易しい式 になるとは限らない。

最後に、6 節で利用する以下の性質を示しておく。

命題 1

$\Sigma (w_0,z_0)$ は、$(\rho ,m)$ の座標系では凸図形、すなわち、

  $$\Sigma(w_0,z_0) = \{U;\ f_1(\rho)\leq m\leq f_2(\rho),\ 0\leq\rho\leq\rho_0\}$$ (20)

で、$f_1(\rho)$ は下に凸、$f_2(\rho)$ は上に凸。

証明

$m=f_2(\rho)$ は $w(U)=w_0$ なので、

$$f_2(\rho) = \rho u = \rho(w_0-G(\rho))$$

となり、その導関数は

$$\begin{eqnarray*}\frac{d m}{d\rho} &=& w_0 - (\rho G(\rho))' = w_0 - (G(\rho) + C(\rho)) = w_0 - H(\rho) \end{eqnarray*}$$

となる。よって、(6) により $d^2 m/d\rho^2\leq 0$ だから この曲線は上に凸となる。 $m=f_1(\rho)$ も $z(U)=z_0$ なので、

$$f_1(\rho) = \rho u = \rho(z_0 + G(\rho))$$

だから、上と同様にして下に凸であることがわかる。