6.3 n が偶数、m が奇数の場合

次は、$n$ が偶数で、$m$ が奇数の場合を考える。 $n=2\nu$, $m=2\mu-1$ とすると、 $2\nu\geq 2\mu-1$ より $\nu\geq\mu$ であり、 $\mu=1$ のときは (3) より無限大となるから、 ここでは $\nu\geq\mu\geq 2$ であるとする。

(5) より、

  $$I_{2\nu,2\mu-1} = \frac{1}{(2\mu-2)!} \int_0^\infty\frac{(\sin^{2\nu}x)^{(2\mu-2)}}{x}\,dx \hspace{1zw}(\nu\geq\mu\geq 2)$$ (24)

であり、補題 2, 3 より、

$${(\sin^{2\nu}x)^{(2\mu-2)} \ =\ \left\{\frac{1}{2^{2\nu-1}}\sum_... ...} \!\!2\nu\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)\cos 2jx\right\}^{(2\mu-2)}}$$

$$= \frac{(-1)^{\mu-1}}{2^{2\nu-1}}\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j} \left(\begin{array}{c} \!\!2\nu\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{2\mu-2}\cos 2jx$$ (25)

となる。ここで、 $x\rightarrow +0$ に対し、

$$(\sin^{2\nu}x)^{(2\mu-2)} = O(x^{2\nu-2\mu+2})$$

なので、$\nu\geq\mu$ より (25) で $x=0$ とすると、

  $$0 = \frac{(-1)^{\mu-1}}{2^{2\nu-1}}\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j} \left(\begin{array}{c} \!\!2\nu\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{2\mu-2}$$ (26)

となることがわかる。 すなわち、(25) の $\cos 2jx$ の係数の和が 0 と なるので、補題 1 と (24), (25) より

$$I_{2\nu,2\mu-1} = \frac{(-1)^{\mu-1}}{(2\mu-2)!}\,\frac{1}{2^{2\nu-1}} \int_0^\inft... ...u\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{2\mu-2}\,\frac{\cos 2jx}{x}\,dx$$

$$= \frac{(-1)^\mu}{(2\mu-2)!\,2^{2\nu-1}}\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j} \lef... ...rray}{c} \!\!2\nu\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{2\mu-2}\log(2j)$$ (27)

が得られる。さらに、(26) により、 最後の $\log(2j)$ の部分は、

  $$I_{2\nu,2\mu-1} = \frac{(-1)^\mu}{(2\mu-2)!\,2^{2\nu-1}}\sum_... ...{array}{c} \!\!2\nu\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{2\mu-2}\log j$$ (28)

とすることもできる ($j=1$ の項は $\log 1 = 0$ により消える)。 元の $n$, $m$ で表すと、

$$I_{n,m} = \frac{(-1)^{\mu}}{(m-1)!\,2^{n-1}} \sum_{j=2}^\nu(-1)^{j} \left(\begin{array}{c} \!\!n\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{m-1}\log j$$ (29)

$$(\mu=(m+1)/2,\ \nu=n/2)$$

となる。