6.4 n が奇数、m が偶数の場合

最後に、$n$ が奇数で、$m$ が偶数の場合を考える。 $n=2\nu-1$, $m=2\mu$ とすると、 $2\nu-1\geq 2\mu$ より $\nu-1\geq\mu\geq 1$ となる。

(5) より、

  $$I_{2\nu-1,2\mu} = \frac{1}{(2\mu-1)!} \int_0^\infty\frac{(\sin^{2\nu-1}x)^{(2\mu-1)}}{x}\,dx \hspace{1zw}(\nu-1\geq\mu\geq 1)$$ (30)

であり、補題 2, 3 より、

$${(\sin^{2\nu-1}x)^{(2\mu-1)} \ =\ \left\{\frac{1}{2^{2\nu-2}}\su... ...!2\nu-1\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)\sin(2j-1)x\right\}^{(2\mu-1)}}$$

$$= \frac{(-1)^{\mu-1}}{2^{2\nu-2}}\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j-1} \left(\be... ...} \!\!2\nu-1\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{2\mu-1}\cos(2j-1)x$$ (31)

となるが、 $x\rightarrow +0$ で

$$(\sin^{2\nu-1}x)^{(2\mu-1)} = O(x^{2\nu-2\mu})$$

なので、$\nu-1\geq\mu$ より (31) で $x=0$ とすると、

  $$0 = \frac{(-1)^{\mu-1}}{2^{2\nu-2}}\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j-1} \... ...in{array}{c} \!\!2\nu-1\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{2\mu-1}$$ (32)

となり、(31) の $\cos(2j-1)x$ の係数の和が 0 となる。 よって補題 1 と (30), (31) より

  $$I_{2\nu-1,2\mu} = \frac{(-1)^{\mu-1}}{(2\mu-1)!\,2^{2\nu-2}}... ...c} \!\!2\nu-1\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{2\mu-1}\log(2j-1)$$ (33)

となる ($j=1$ は $\log 1 = 0$ により消える)。 元の $n$, $m$ で表すと、(33) は、

$$I_{n,m} = \frac{(-1)^{\mu-1}}{(m-1)!\,2^{n-1}} \sum_{j=2}^\nu(-1)^{j} \left... ...{array}{c} \!\!n\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{m-1}\log(2j-1)$$ (34)

$$(\mu=m/2,\ \nu=(n+1)/2)$$

となる。

以上の 4 つの式 (19), (23), (29), (34) には共通部分もあるので、 以下のようにまとめることもできる。

  $$I_{n,m} = \displaystyle \frac{(-1)^{\mu}}{(m-1)!\,2^{n-1}} \sum... ... \!\!n\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(\alpha_{n,j})^{m-1}\beta_{n,m,j}$$ (35)

ここで、$\mu$, $\nu$ は $\mu = [(m+1)/2]$, $\nu=[(n+1)/2]$ ($[\ ]$ はガウス記号)、 $\alpha_{n,j}$, $\beta_{n,m,j}$ は以下の通り。

$$\begin{array}{ll} \displaystyle \alpha_{n,j} &= \left\{\begin{ar... ...\ -\log(2j-1) & (\mbox{$n$\ が奇数, $m$\ が偶数のとき}) \end{array}\right.\end{array}$$