7 回転変換の軸回転行列による表現

本節では、回転軸ベクトル $\mbox{\boldmath$n$}$ の回りの $\psi$ 回転の回転変換を、 軸回転行列で表現すること、およびその角の計算について考察する。

回転変換を直交行列で表現すること、およびその逆の直交行列から回転変換の 軸と角を求める方法は 5 節で考察し、 直交行列を軸回転行列で表現することは 6 節で考察したが、 回転変換を 6 節のような 3 つの軸回転行列の 合成で表現することは実はそれほど容易ではない。 もちろん、5 節、6 節の話をつなげて、 途中に直交行列を介在することで、回転変換を直交行列で表してそれを 軸回転行列で表すことは原理的には不可能ではないが、 あまり綺麗にはならない。

例えば、6 節の最後に述べた方法で、 回転変換の表現行列 (41) から 軸回転の角 $\theta'$ を求めようとすると、

$$\sin\theta' = c_3 = \cos\psi+n_3^2(1-\cos\psi),\hspace{1zw} \cos\theta' = \sqrt{1-(\cos\psi+n_3^2(1-\cos\psi))^2}$$

のようになってしまって、簡単な式にはならない。 すなわち、回転変換の表現行列 (41) を 角 $\phi$, $\theta$, $\psi$ を用いて表すことは可能で、 そしてそれを軸回転角の $\phi'$, $\theta'$, $\psi'$ で 表すことは可能だ (解はある) が、その解を表す式は易しくなく、 それらの角同士の関係は綺麗な形にはならない。

例えば、逆に (44) から回転変換の 回転軸ベクトル $\mbox{\boldmath$n$}$ を計算することも一応はできるが、 これもあまり綺麗な式にはならない。それを少し紹介する。 (44) の回転軸ベクトルを $\mbox{\boldmath$n$}$ とすると、

  $$A\mbox{\boldmath$n$}=A_z(\phi)A_y\left(\frac{\pi}{2}\,-\theta\right)A_z(\psi)\mbox{\boldmath$n$} = \mbox{\boldmath$n$}$$ (46)

より、

$$A_y\left(\frac{\pi}{2}\,-\theta\right)A_z(\psi)\mbox{\boldmath$n$} = A_z(-\phi)\mbox{\boldmath$n$}$$

となるが、 $A_z(\psi)\mbox{\boldmath$n$}=\mbox{\boldmath$m$}$ と書くと、 補題 6 より $A_z(-\phi) = A_z(-\phi-\psi)A_z(\psi)$ と なるので、

  $$A_y\left(\frac{\pi}{2}\,-\theta\right)\mbox{\boldmath$m$} = A_z(-\phi-\psi)\mbox{\boldmath$m$}$$ (47)

となる。

$$A_y\left(\frac{\pi}{2}\,-\theta\right) - A_z(-\phi-\psi) =\left[\... ...{1-\cos(\phi+\psi)}&{0}\\ {-\cos\theta}&{0}&{\sin\theta-1}\end{array}\right]$$

なので、(47) となる $\mbox{\boldmath$m$}$ は、 $\sin\theta\neq 1$ かつ $\cos(\phi+\psi)\neq 1$ であれば

  $$\mbox{\boldmath$m$}=k\,{}^T\!{ \left(1,\frac{-\sin(\phi+\psi)}{1-\cos(\phi+\psi)}, \frac{-\cos\theta}{1-\sin\theta}\right)}$$ (48)

と書ける ($k$ はスカラー)。このとき $\mbox{\boldmath$n$}$ は、

$$\mbox{\boldmath$n$} = A_z(-\psi)\mbox{\boldmath$m$} \ =\ k\left[\begin{array}{ccc}{\co... ...i+\psi)}}\\ {\displaystyle \frac{-\cos\theta}{1-\sin\theta}}\end{array}\right]$$

$$= k\left[\begin{array}{c}{\cos\psi-\sin\psi\sin(\phi+\psi)/(1-\cos(... ...phi+\psi)/(1-\cos(\phi+\psi)}\\ {-\cos\theta/(1-\sin\theta)}\end{array}\right]$$

$$= k\left[\begin{array}{c}{(\cos\psi-\cos\psi\cos(\phi+\psi)-\sin\ps... ...+\psi))/ (1-\cos(\phi+\psi))}\\ {-\cos\theta/(1-\sin\theta)}\end{array}\right]$$

$$= k\left[\begin{array}{c}{(\cos\psi-\cos\phi)/(1-\cos(\phi+\psi))}\... ...sin\phi)/(1-\cos(\phi+\psi))}\\ {-\cos\theta/(1-\sin\theta)}\end{array}\right]$$ (49)

となる。$k$ は、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\left(\frac{\cos\psi-\cos\phi}{1-\cos(\phi+\psi)}\righ... ...1-\sin\theta}\right)^2 \ =\ \frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}\end{eqnarray*}$$

より、

  $$k=\frac{\pm 1}{\sqrt{\displaystyle \frac{2}{1-\cos(\phi+\psi)} +\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}}$$ (50)

となる。

$\sin\theta=1$ の場合は、$\theta=\pi/2$ より $A_y(\pi/2-\theta)=A_y(0)=E$ と なり、

$$A = A_z(\phi)A_z(\psi)=A_z(\phi+\psi)$$

となるので、 $\phi+\psi\neq 0$ であれば回転軸ベクトルは $\mbox{\boldmath$n$}=\mbox{\boldmath$k$}$ と取れるが、 $\phi+\psi=0$ なら $A=E$ となり回転を表さない。

$\sin\theta\neq 1$ で $\cos(\phi+\psi)=1$ であれば、 $\phi+\psi=0$ なので、(47) は

$$A_y\left(\frac{\pi}{2}\,-\theta\right)\mbox{\boldmath$m$} = \mbox{\boldmath$m$}$$

となり、よって $\mbox{\boldmath$m$}=\mbox{\boldmath$j$}$ と取れるから、

$$\mbox{\boldmath$n$}=A_z(-\psi)\mbox{\boldmath$j$} = \left[\begin{array}{c}{\sin\psi}\\ {\cos\psi}\\ {0}\end{array}\right]$$

となる。

(49), (50) により回転軸 ベクトル $\mbox{\boldmath$n$}$ を (46) の 軸回転角 $\psi,\phi,\theta$ で表すことができ、 まだ多少の変形は可能ではあるが、 あまり綺麗な形にはならないことがわかるだろう。 つまり、(44) の形と回転変換は あまり相性がよくない。

しかし、「3 つの軸回転行列の合成での表現」という制約を取り除けば 回転変換を軸回転行列で表現することは比較的容易である。

回転軸ベクトル $\mbox{\boldmath$n$}$ を $\mbox{\boldmath$p$}(\phi ,\theta )$ の形で表せば、 図 3 の $\mbox{\boldmath$n$}$ の回りの $\psi$ 回転は、

1. $\mbox{\boldmath$n$}$ を $\mbox{\boldmath$k$}$ に移動するような回転、 すなわち $z$ 軸に関して $-\phi$ 回転して $\mbox{\boldmath$n$}$ を $xz$ 平面に移動し、 次に $y$ 軸に関して ($z$ 軸から $x$ 軸方向へ) $-(\pi/2-\theta)$ 回転 をして、
2. そののちに $z$ 軸に関して $\psi$ 回転して、
3. 1. の逆、すなわち、$y$ 軸に関して $(\pi/2-\theta)$ 回転してから $z$ 軸に関して $\phi$ 回転

とすることで実現できることがわかる。すなわち、

  $$A = A_z(\phi)A_y\left(\frac{\pi}{2}\,-\theta\right)A_z(\psi) A_y\left(\theta-\,\frac{\pi}{2}\right)A_z(-\phi)$$ (51)

のように 5 個の軸回転行列の積で表現できることになる。

計算はかなり煩雑なので省略するが、 これを展開すると、実際 (51) が (41)、すなわち (40) に 一致することを確認することもできる。