5 B^(j)_n の評価と極限

$B^{(j)}_n$, $B_n$ の評価には, 以下の補題を用いる.

補題 3

(16) を満たす $\psi_0(y)$ に対して $\psi_n(s)=\psi_n(s;a) = n\psi_0(n(s-a))$ とすると, 任意の有限区間 $I=[p,q]$ に対して次が成り立つ.

1. $(s-a)^k\psi_n(s)$ $(k=1,2)$ は $s,a\in I$, $n$ に関して有界で,
   $$\lim_{n\rightarrow \infty}{(s-a)^k\psi_n(s)}=0$$
2. $f(s)$ が $I$ 上連続ならば,
   $$J_n=\int_z^wf(s)\psi_n(s)ds$$
   は, $w,z,a\in I$ ($z\leq w$), $n$ に関して有界で, 以下が成り立つ.
   $$\lim_{n\rightarrow \infty}{J_n}=f(a)\xi(w,z;a,r)\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\psi_0(y)dy,$$
   ここで, $r$, $\xi (w,z;a,r)$ は,
   $$r=\frac{\displaystyle \int_0^\infty\psi_0(y)dy}{\displaystyle \in... ...)\\ 1-r & (\mbox{$z<w=a$\ のとき})\\ 0 & (\mbox{上記以外のとき}) \end{array}\right.$$
   とする (図 3).

図 3: function $\xi (w,z;a,r)$

補題 3 の証明 1. $S_n=n(s-a)$ とすると,

$$(s-a)^k\psi_n(s) =n(s-a)^k\psi_0(n(s-a)) = \frac{S_n^k\psi_0(S_n)}{n^{k-1}}$$

は (16) より一様有界で, $s\neq a$ であれば (16) により 0 に収束し, $s=a$ のときは $S_n=0$ より 0 となる.

2. $Z_n=n(z-a)$, $W_n=n(w-a)$ とすると,

$$\int_z^w\vert\psi_n(s)\vert ds = \int_z^w\vert n\psi_0(n(s-a))\... ... \int_{Z_n}^{W_n}\vert\psi_0(y)\vert dy \leq \Vert\psi_0\Vert _{L^1}<\infty$$

なので,

$$\vert I_n\vert\leq \Vert f\Vert _{C(I)}\Vert\psi_0\Vert _{L^1}$$

より $I_n$ は一様有界となる. $n\rightarrow\infty$ に対しては, $z=w$ なら $I_n=0$,

$$I_n = \int_{Z_n}^{W_n}f\left(a+\frac{y}{n}\right)\psi_0(y)dy$$

より, $a<z<w$ ならば $Z_n,W_n\rightarrow\infty$, $z<w<a$ ならば $Z_n,W_n\rightarrow -\infty$ となるので これらの場合は $I_n\rightarrow 0$ となる.

$z=a<w$ の場合は, $Z_n=0$, $W_n\rightarrow\infty$ となるので,

$$I_n\rightarrow \int_0^\infty f(a)\psi_0(y)dy = f(a)r\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\psi_0(y)dy$$

となる. また, $z<w=a$ のときは, $Z_n\rightarrow -\infty$, $W_n=0$ より

$$I_n\rightarrow \int_{-\infty}^0 f(a)\psi_0(y)dy = f(a)(1-r)\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\psi_0(y)dy$$

となる. 最後に, $z<a<w$ のときは, $Z_n\rightarrow -\infty$, $W_n\rightarrow\infty$ より

$$I_n\rightarrow \int_{-\infty}^\infty f(a)\psi_0(y)dy = f(a)\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\psi_0(y)dy$$

となる.

次は, この補題 3 を用いて, $B^{(0)}_n$, $B^{(1)}_n$ の 評価を行う. まずは $B^{(0)}_n$ から.

$\eta_n$, $\sigma_n$ は, $u(X)=m!X^m$ とすると, (20), (21) と, 境界値 (19) により,

$$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \eta_n \ =\ u(w-z)\{\psi_... ...1)^m\theta u(w-z)(w-z)\psi_n(z) +\int_z^wR_2(s)\psi_n(s)ds \end{array}\right.$$ (26)

と書ける. よって, $B^{(0)}_n$ は

	$$B^{(0)}_n$$	$=$	$$\eta^{(0)}\sigma_n-\eta_n\sigma^{(0)} \ =\ \eta^{(0)}(\sigma_n+\theta(w-a)\eta_n)$$
		$=$	$$\theta u(w-z)\eta^{(0)}\{(w-a)\psi_n(w)+(-1)^m(a-z)\psi_n(z)\}$$
			$$\mbox{} +\eta^{(0)}\int_z^w\{R_2+\theta(w-a)R_1\}\psi_n(s)ds$$	(27)

となる. 補題 3 より $(w-a)\psi_(w)$, $(z-a)\psi_n(z)$ は $w,z,a\in [z_1,w_1]$ で有界で, $n\rightarrow\infty$ のときに 0 に収束する. 積分項も有界で, $R_3(a) = R_2(a)+\theta(w-a)R_1(a)$ とすると

$$\eta^{(0)}R_3(a)\xi(w,z;a,r)\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\psi_0... ...nt_0^\infty\psi_0dy\left/\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\psi_0dy \right.\right)$$ (28)

に収束するから, 結局 $B^{(0)}_n$ は有界で, (28) に収束することがわかる.

次に $B^{(1)}_n$ は,

	$$B^{(1)}_n$$	$=$	$$\eta^{(1)}\sigma_n-\eta_n\sigma^{(1)} \ =\ \eta^{(1)}(\sigma_n+\theta(w-a)\eta_n)-\theta\eta^{(0)}\eta_n$$
		$=$	$$\theta u(w-z)\eta^{(1)}\{(w-a)\psi_n(w)+(-1)^m(a-z)\psi_n(z)\}$$
			$$\mbox{} -\theta u(w-z)\eta^{(0)}\{\psi_n(w)+(-1)^{m+1}\psi_n(z)\}$$
			$$\mbox{} +\eta^{(1)}\int_z^w\{R_2+\theta(w-a)R_1\}\psi_n(s)ds -\theta\eta^{(0)}\int_z^wR_1\psi_n(s)ds$$	(29)

となるが, $\eta^{(1)}$ は $[z_1,w_1]$ 上有界なので, この 3 行の式のうち, 最初の行は $B^{(0)}_n$ の場合と同様に有界で 0 に収束する. 2 行目の式は, $\eta^{(0)}$ に $(w-a)(a-z)$ が含まれているので, これもやはり $B^{(0)}_n$ の場合と同様に有界で 0 に収束する. 3 行目の 2 つの積分項も有界で,

$$(\eta^{(1)}R_3(a)-\theta\eta^{(0)}R_1(a))\xi(w,z;r,a) \int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\psi_0dy$$ (30)

に収束するから, 結局 $B^{(1)}_n$ は有界で (30) に 収束する.

よって, Lebesgue 収束定理により, 以下がわかる.

$$\left\{\begin{array}{ll} \langle B^{(0)}_n\rangle &\displayst... ...t_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\widehat{\psi}_0dy\right.\right) \end{array}\right.$$ (31)

ここから,

$$\langle B^{(0}_n\rangle \langle\widehat{B}^{(1)}_n\rangle -\lang... ...box{\scriptsize\sl R}}\psi_0dy\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\widehat{\psi}_0dy$$

となるから, $\psi_0$, $\widehat{\psi}_0$ が

$$\frac{\displaystyle \int_0^\infty\psi_0dy}{\displaystyle \int_{\... ...t{\psi}_0dy}% {\displaystyle \int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\widehat{\psi}_0dy}$$ (32)

を満たせば, $r=\widehat{r}$ となり, よって,

$$\langle B^{(0}_n\rangle \langle\widehat{B}^{(1)}_n\rangle -\langle\widehat{B}^{(0}_n\rangle \langle B^{(1)}_n\rangle \rightarrow 0$$ (33)

となる. これと, (25) を組み合わせると, 以下が得られる.

命題 4

条件 (32) の元, $h(a)\langle B_n\rangle$ は $a\in[z_1,w_1]$ に関して有界で,

$$\lim_{n\rightarrow \infty}{h(a)\langle B_n\rangle }=0.$$