3 Riemann 不変量と Darboux の公式

方程式 (3) に対して,

$$w = u + \frac{\sqrt{A\gamma}}{\theta}\,\rho^\theta, \hspace*{1em}z = u - \frac{\sqrt{A\gamma}}{\theta}\,\rho^\theta$$ (8)

で定まる $w,z$ を「Riemann 不変量」と呼ぶ. ここで $\theta$ は $\theta=(\gamma-1)/2$ の定数で, $1<\gamma<3$ では $0<\theta<1$ である.

$(\rho ,u)$ という組は, $\rho>0$ の範囲では $(w,z)$ という組に 1 対 1 に対応し,

$$u = \frac{w+z}{2}, \hspace*{1em}\rho=\left(\frac{\theta}{\sqrt{A\gamma}} \,\frac{w-z}{2}\right)^{1/\theta}$$ (9)

と表される. よって滑らかで $\rho>0$ な解に対しては, $(\rho ,u)$ で考えることと $(w,z)$ で考えることは同等となる. 弱エントロピー対 $(\eta,q)$ や Young 測度 $\nu_{(t,x)}(\rho,u)$ も, $\rho,u$ の関数, $\rho,u$ の測度と考える代わりに $w,z$ の関数, $w,z$ の測度, と考えることもできる. $(w,z)$ で考えると方程式 (3) も対角化され, 色々見通しが良くなり, 本稿でもほぼ $(w,z)$ で考察する.

補償コンパクト性理論で用いられる (3) の 近似解は, 一様有界性を持つ人工粘性近似や Lax-Friedrichs 型の差分近似 が用いられる. それらは, ある不変領域を持つことが知られている. まず, $(w,z)$ 平面の三角領域 $\Sigma (w_0,z_0)$ を以下のように定める.

$$\Sigma(w_0,z_0)=\{(w,z);\ w\leq w_0,\ z\geq z_0,\ w\geq z\}$$ (10)

なお, $w\geq z$ は $\rho\geq 0$ に対応し, これは常に満たす必要がある. この $\Sigma (w_0,z_0)$ は $(w,z)$ 平面, $(\rho ,u)$ 平面では 図 1 のようになる.

図 1: $\Sigma (w_0,z_0)$ on $(w,z)$ plane and on $(\rho ,u)$ plane

なお, これは $(\rho ,u)$ 平面のものと $(w,z)$ 平面のものを同一視し, 同じ $\Sigma (w_0,z_0)$ で表すことにする. また, 厳密に言えば弱解は $\rho=0$ ($w=z$) の値を取り得て, その部分では $u$ は未定義になってしまうのであるが, 弱解は正確には $(\rho ,u)$ の対ではなく, $(\rho,m)=(\rho,\rho u)$ の対で考えるので, $\rho=0$ も問題なく弱解として含み得る. 本稿では, 弱解と $\rho=0$ に関する議論は詳しくは行わないが, 参考文献[9] を参照のこと. 三角領域 $\Sigma (w_0,z_0)$ に関して次が成り立つことが知られている.

初期値 $(\rho_0(x),u_0(x))$ がすべての $x$ に対してある 三角領域 $\Sigma (w_0,z_0)$ に含まれていれば, そこから構成する (3) の 人工粘性近似解, あるいは Lax-Friedrichs 型差分近似解 $(\rho^\Delta(t,x),u^\Delta(t,x))$ は, $t>0$ に対し常に $\Sigma (w_0,z_0)$ に含まれる.

これにより, この近似解の部分列 $(\rho_n(t,x),u_n(t,x))$, その汎弱極限 $(\bar{\rho}(t,x),\bar{u}(t,x))$, およびそれに対する Young 測度 $\{\nu_{(t,x)}(\rho,u)\}_{(t,x)}$ が 取れ, $\nu_{(t,x)}$ は $\Sigma (w_0,z_0)$ 以外では 0 となる. そして, 補償コンパクト性理論により, この Young 測度 $\nu_{(t,x)}$ と, 任意の弱エントロピー対 $(\eta,q)$, $(\tilde{\eta},\tilde{q})$ に対して, 冒頭の Tartar 方程式 (1) が, ほとんどいたるところの $(t,x)$ ($t>0$) に対して 成り立つことが示される. ここまでは標準的な流れで, この部分に変更はない. 詳しくは参考文献[9] 等を参照のこと.

あとは, Tartar 方程式を解くのに必要な弱エンロピー対を, 以下のいわゆる Darboux の公式から具体的に生成して, それを使って考察する.

$1<\gamma\leq 5/3$ のとき, 実数上の任意の連続関数 $\phi(s)$ に対して,

$$\left\{\begin{array}{ll} \eta &\displaystyle =\int_z^w(w-s)^m(s... ... \lambda_2\eta - \theta\int_z^w(w-s)^{m+1}(s-z)^m\phi(s)ds \end{array}\right.$$ (11)

は, (5) を満たす弱エントロピー 対 ($\eta(0,u)=0$) となる. ここで, $\lambda_2$ は

$$\lambda_2 = u+\sqrt{A\gamma}\,\rho^\theta = \frac{1+\theta}{2}\,w+\frac{1-\theta}{2}\,z$$

で, $m$ は

$$m = \frac{1-\theta}{2\theta} = \frac{3-\gamma}{2(\gamma-1)}.$$

この最後の $m$ は, 逆に $\gamma=(2m+3)/(2m+1)$ となり, DiPerna[3] は $m$ を自然数とし, Ding-Chen-Luo[2] は $m$ を 1 以上の実数としている. 本稿では, $m$ を自然数として, DiPerna[3] と同じ $\gamma$ の 条件で考える.

弱エントロピー対は, この Darboux の公式 (11) により, $\phi$ の自由度だけ存在し, ここから多くの種類のエントロピー対を生成できる. この Darboux の公式の形のエントロピー対を, 本稿では「Darboux エントロピー対」と呼ぶ. なお, 以後, $q-\lambda_2\eta=\sigma$ とする. Darboux エントロピー対に対しては

$$\sigma = q-\lambda_2\eta = - \theta\int_z^w(w-s)^{m+1}(s-z)^m\phi(s)ds$$ (12)

となる.

本稿の議論で必要なエントロピー対を以下に紹介する.

• $a\in\mbox{\sl R}$ に対して, $\phi$ を $\delta(s-a)$ に近づけた極限, 具体的には $\phi_0(y)\in C^\infty_0(0,1)$, $\int_0^1\phi_0(y)dy=1$ なる $\phi_0(y)$ に対して $\phi(s)=\phi_n(s)=n\phi_0(n(s-a))$ と して $n\rightarrow\infty$ により得られるエントロピー対
  $$\left\{\begin{array}{ll} \eta^{(0)} &= (w-a)^m(a-z)^mX_0(w,z;a)... ...eta^{(0)}\\ q^{(0)} &= \lambda_2\eta^{(0)}+\sigma^{(0)}. \end{array}\right.$$ (13)
  ここで, $X_0(w,z;a)$ は
  $$X_0(w,z;a) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & (\mbox{$z\leq a<w$\ のとき})\\ 0 & (\mbox{それ以外}) \end{array}\right.$$ (14)
  である (図 2). 詳しくは参考文献[9] を参照. なお, このエントロピー対は, ほぼ Darboux の公式の積分を外して $\phi$ を除いた形なので, これを本稿では「核エントロピー対」と呼ぶ.
• $a\in\mbox{\sl R}$ に対して, $\phi$ を $-\delta'(s-a)$ に近づけた極限, 具体的には上の $\phi_n(s)$ に対して $\phi(s)=-\phi_n'(s)$ と して $n\rightarrow\infty$ により得られるエントロピー対
  $$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \eta^{(1)} &= \{(w-a)^... ...)}\\ [1zh] q^{(1)} &= \lambda_2\eta^{(1)}+\sigma^{(1)}. \end{array}\right.$$ (15)
  $\eta^{(1)},q^{(1)},\sigma^{(1)}$ は, $z<a<w$ では $\eta^{(0)},q^{(0)},\sigma^{(0)}$ を $a$ で微分したものになっている. なお, 厳密に言えば, $(\eta^{(1)},q^{(1)})$ は, $m=1$ の場合は $w=a$, $z=a$ で連続ではないが, $\nu_{(t,x)}$ での積分は可能で, $\phi(s)=-\phi_n'(s)$ に対して成立する Tartar 方程式で, Lebesgue 収束定理による極限を取れば, $(\eta^{(1)},q^{(1)})$ に対しても Tartar 方程式が成立することが 示される.
• $a\in\mbox{\sl R}$ に対して $\phi(s) = (d/ds)^{m+1}\psi_n(s)$ として得られる 弱エントロピー対 $(\eta_n,q_n)$. ここで $\psi_n(s)$ は $\psi_n(s) = n\psi_0(n(s-a))$ で, $\psi_0(y)$ は $\mbox{\sl R}$ 上滑らかで,
  $$\lim_{\vert y\vert\rightarrow \infty}{(1+\vert y\vert^2)\psi_0(y)}=0, \hspace*{2em}\psi_0(y)\in L^1(\mbox{\sl R})$$ (16)
  とする. そして同じ条件を満たす $\widehat{\psi}_0$ に対して, $(\eta_n,q_n)$ と同様にして構成した弱エントロピー対を $(\widehat{\eta}_n,\widehat{q}_n)$ とし, $\widehat{\sigma}_n=\widehat{q}_n-\lambda_2\widehat{\eta}_n$ とする.

図 2: function $X_0$

この最後の $\eta_n,\sigma_n$ を計算する.

$$\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)^k(w-s)^m(s-z)^m, \hspace*{2em}\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)^k(w-s)^{m+1}(s-z)^m$$

は $k<m$ では $s=z$, $s=w$ で 0 になるので, $m$ 回部分積分すると,

$$\eta_n = \int_z^wQ_1(s)\psi_n'(s)ds, \hspace*{2em}\sigma_n = \int_z^wQ_2(s)\psi_n'(s)ds$$ (17)

となる. ここで, $Q_1(s),Q_2(s)$ は

$$\left\{\begin{array}{lll} Q_1(s) &= \bar{Q}_1(w-s,s-z) &\disp... ...ft(\frac{\partial}{\partial s}\right)^m (w-s)^{m+1}(s-z)^m \end{array}\right.$$ (18)

の $s$ に関する多項式であり, その境界値は

$$\left\{\begin{array}{lll} Q_1(w) &= \bar{Q}_1(0,w-z) &= m!(w-z)... ..._2(z) &= \bar{Q}_2(w-z,0) &= (-1)^{m+1}\theta m!(w-z)^{m+1} \end{array}\right.$$ (19)

となる. もう 1 回部分積分をすると,

	$$\eta_n$$	$=$	$$\left[Q_1(s)\psi_n(s)\right]_{s=z}^{s=w} +\int_z^wR_1(s)\psi_n(s)ds$$
		$=$	$$Q_1(w)\psi_n(w)-Q_1(z)\psi_n(z) +\int_z^wR_1(s)\psi_n(s)ds,$$	(20)
	$$\sigma_n$$	$=$	$$\left[Q_2(s)\psi_n(s)\right]_{s=z}^{s=w} +\int_z^wR_2(s)\psi_n(s)ds$$
		$=$	$$Q_2(w)\psi_n(w)-Q_2(z)\psi_n(z) +\int_z^wR_2(s)\psi_n(s)ds,$$	(21)
	$$R_j(s)$$	$=$	$$-\frac{\partial}{\partial s}Q_j(s) \ =\ -\frac{\partial}{\partial s}\bar{Q}_j(w-s,s-z) \hspace*{2em}(j=1,2)$$	(22)

となる.