4.3 CASE 1

まず、p139 の CASE 1 の (7.63) を考える。

この場合、衝突時刻 $t=\tau$ では $\sigma_\alpha$ が衝突せず、 $\sigma_\alpha(\tau)$ とは別のところで $\sigma'_i$, $\sigma''_j$ が 衝突して $\sigma_k$ が生成するとする (Riemann 問題の解は $\bar{\sigma}_k$)。 また、 $\sigma_\alpha(t)$ は $p$-特性族の膨張 front 接続であるとする。

示すべきは、

  $$\Delta\sigma_\alpha(\tau)=0, \hspace{1zw}\Delta V_\alpha(\tau)+C_0\Delta Q(\tau)\leq 0$$ (26)

であるが、$t=\tau$ では $\sigma_\alpha$ が衝突しないので、当然

$$\Delta\sigma_\alpha(\tau) = \sigma_\alpha(\tau+) - \sigma_\alpha(\tau-) = 0$$

となる。

一方、(26) の 2 つ目は自明ではない。 $V_\alpha$ が $V$ であれば、(23) の 1 本目より (26) の 2 つ目は当然成立するが、 $V$ ではなく $V_\alpha$ であるため少し詳しく考える必要がある。 まず、以下が成り立つことを場合分けで示す。

  $$\Delta V_\alpha(\tau)\leq M_1\vert\sigma'_i\sigma''_j\vert$$ (27)