5 周期超関数のフーリエ級数の収束性

周期超関数のフーリエ級数の収束性は、実は次のことが知られている。

定理 5

$f\in\mathcal{D}'_T$ に対するフーリエ級数の部分和

$$F_n(f)(x) = \frac{a_0(f)}{2} + \sum_{k=1}^n \left(a_k(f)\cos\frac{2k\pi}{T}x + b_k(f)\sin\frac{2k\pi}{T}x\right)$$ (14)

は、$\mathcal{D}'$ で $f$ に収束する。

本節では、この定理の証明を紹介する。

補題 6

任意の $f\in\mathcal{D}'_T$, $\phi\in C^\infty_T$ に対し、 $f'\in\mathcal{D}'_T$ で、次が成り立つ。

1. $\left\langle f, \phi e_T' \right\rangle =0$
2. $\left\langle f', \phi \right\rangle_T =-\left\langle f, \phi' \right\rangle_T$

証明

$f'\in\mathcal{D}'_T$ となることは容易にわかる。 まず 1. から考える

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\left\langle f, \phi e_T' \right\rangle = \left... ...\langle f(x), \phi(x)e_T(x)\sum_n e_T'(x-nT) \right\rangle \end{eqnarray*}$$

となるが、

$$\sum_n e_T'(x-nT) = \left(\sum_n e_T(x-nT)\right)' = (1)' = 0$$

より 0 となる。

また、2. の方は 1. より、

$$\left\langle f', \phi \right\rangle_T = \left\langle... ...ight\rangle = -\left\langle f, \phi' \right\rangle_T$$

となって示される。

補題 7

任意の $f\in\mathcal{D}'_T$ に対し、 $$a_n(f')=\frac{2n\pi}{T}b_n(f)$$, $$b_n(f')=-\frac{2n\pi}{T}a_n(f)$$,
$\{F_n(f)\}' = F_n(f')$.

証明

補題 6 より、

$$\begin{eqnarray*}a_n(f') &=& \left\langle f', \frac{2}{T}\cos\frac{2n\pi}{T... ...cos\frac{2n\pi}{T}x \right\rangle_T = -\frac{2n\pi}{T}a_n(f) \end{eqnarray*}$$

よって、$a_0(f')=0$ であり、これらを用いると、

$$\begin{eqnarray*}\{F_n(f)\}' &=& \left\{\frac{a_0(f)}{2} + \sum_{k=1}^n\left(a... ...rac{2k\pi}{T}x + a_k(f')\cos\frac{2k\pi}{T}x\right) = F_n(f') \end{eqnarray*}$$

となる。

さて、定理 5 は、任意の $\phi\in\mathcal{D}$ に対して、

$$\left\langle F_n(f), \phi \right\rangle \rightarrow\left\langle f, \phi \right\rangle$$

であることを意味するが、命題 2 より この左辺は $\left\langle F_n(f), \phi_T \right\rangle_T$ に等しく、 そして (6) を用いると以下のように変形できる。

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\left\langle F_n(f), \phi_T \right\rangle_T } ... ...ight\rangle = \left\langle f, F_n(\phi_T) \right\rangle_T \end{eqnarray*}$$

このように、フーリエ級数の計算が、超関数からテスト関数へ移動できる。

さて、次は良く知られている。

命題 8

$f\in\mathcal{D}'_T$ が $C^1$ 級 ($f$, $f'$ が連続) であれば、 $F_n(f)$ は $f$ に一様収束する。

この証明は 9 節で紹介する。

この命題 8 により、$F_n(\phi_T)$ は $\phi_T$ に 一様収束することがわかるが、補題 7 より
$D^kF_n(\phi_T)=F_n(D^k\phi_T)$ であり、 これも命題 8 により $D^k\phi_T$ に一様収束することになる。 これにより、 $e_TF_n(\phi_T)$ は、 $\mathcal{D}$ で $e_T\phi_T$ に収束することがわかる。 実際、 $e_TF_n(\phi_T)$ のサポートは $n$ にかかわらず $e_T$ の サポートに含まれ、

$$\begin{eqnarray*}D^k(e_TF_n(\phi_T)) &=& \sum_{j=0}^k {}_kC_j D^{k-j}e_T D^jF... ...\sum_{j=0}^k {}_kC_j D^{k-j}e_T D^j\phi_T &=& D^k(e_T\phi_T)\end{eqnarray*}$$

となるからである。

よって、 $\left\langle f, e_TF_n(\phi_T) \right\rangle$ は $\left\langle f, e_T\phi_T \right\rangle$ に収束し、 結局、

$$\left\langle F_n(f), \phi \right\rangle = \left\langle ... ...i_T \right\rangle_T = \left\langle f, \phi \right\rangle$$

となり、定理 5 が示されたことになる。

つまり、周期超関数のフーリエ級数の収束は、 テスト関数のフーリエ級数の収束に帰着されて示されることになる。 なお、この定理 5 により、 (13) も $\mathcal{D}'$ ( $\mathcal{D}'_T$) では等号になる。