3 解答

まず、超関数と $C^\infty$ 関数の積に対して、積の微分が成り立つかどうかを見ておく。 $(\alpha T)'$ と $\alpha'T+\alpha T'$ を比較すると、

$$\begin{eqnarray*}\langle(\alpha T)',\phi\rangle &=& -\langle\alpha T,\phi'\ran... ...pha'\phi+\alpha\phi'\rangle \ =\ -\langle T,\alpha\phi'\rangle\end{eqnarray*}$$

となって、確かに両者は等しい。つまり $\alpha T$ に対する積の微分は成立する。

次に、(7) であるが、これも

$$\langle\alpha\delta,\phi\rangle =\langle\delta,\alpha\phi\rangle ... ...pha(0)\delta,\phi\rangle =\langle\delta,\alpha(0)\phi\rangle =\alpha(0)\phi(0)$$

となって両者は確かに等しい。

となれば、(8) と (9) で 矛盾が起きているように思うかもしれないが、そこに一つ見落しやすい誤解がある。 それは、(7) とは違い、$\delta'(x)$ に対しては

$$\alpha(x)\delta'(x) \neq \alpha(0)\delta'(x)$$

であることである。$\delta'(x)$ も $x=0$ でしか値を持たないものなので、 なんとなく $\alpha(x)\delta'(x)=\alpha(0)\delta'(x)$ は 正しく感じるかもしれないが、実際には、

$$\begin{eqnarray*}\langle\alpha\delta',\phi\rangle &=& \langle\delta',\alpha\ph... ...'(0)\langle\delta,\phi\rangle+\alpha(0)\langle\delta',\phi\rangle\end{eqnarray*}$$

なので、実は $\alpha(x)\delta'(x)$ は

  $$\alpha(x)\delta'(x) = \alpha(0)\delta'(x)-\alpha'(0)\delta(x)$$ (10)

となるのである。

実際、これを (8) の 2 つ目の式に代入すれば、 (9) が得られるので何も矛盾は起こらない。