6 弧長の差

次は、$C_1$ の弧長 $\ell_1$ と $C_2$ の弧長 $\ell_2$ との差 $\Delta\ell = \ell_2-\ell_1$ を計算する。

(3), (8) より、

  $$\Delta\ell =\int_c^d\vert\mbox{\boldmath$q$}'(t)\vert dt - \in... ...a\mbox{\boldmath$n$}'(t)\vert dt - \int_c^d\vert\mbox{\boldmath$r$}'(t)\vert dt$$ (11)

となるが、(9) の下の議論で見たように $\mbox{\boldmath$q$}'(t)$ は $\mbox{\boldmath$n$}(t)$ と垂直、すなわち $\mbox{\boldmath$r$}'(t)$ と平行になるので、 $\mbox{\boldmath$q$}'(t) = m(t)\mbox{\boldmath$r$}'(t)$ のように書けるはずである。 この $m(t)$ を求める。 (7) より、

$$\mbox{\boldmath$n$}'(t) = \left(\frac{\mbox{\boldmath$\hat{r}$}(... ...vert\mbox{\boldmath$\hat{r}$}\vert'}% {\vert\mbox{\boldmath$\hat{r}$}\vert^2}$$

であるが、

$$\vert\mbox{\boldmath$\hat{r}$}\vert' =\left(\sqrt{\mbox{\boldmath... ...}$}\mathrel{・}\mbox{\boldmath$\hat{r}$}'}{\vert\mbox{\boldmath$\hat{r}$}\vert}$$

なので、

$$\mbox{\boldmath$n$}'(t) =\frac{\mbox{\boldmath$\hat{r}$}'\vert\m... ...threl{・}\mbox{\boldmath$\hat{r}$}')}% {\vert\mbox{\boldmath$\hat{r}$}\vert^3}$$

となる。ここで、 $\mbox{\boldmath$\hat{r}$}=(y',-x')$ より、

$$\vert\mbox{\boldmath$\hat{r}$}\vert=\vert\mbox{\boldmath$r$}'\ver... ...x')\mathrel{・}(y'',-x'') =\mbox{\boldmath$r$}'\mathrel{・}\mbox{\boldmath$r$}''$$

となるので、 $\mbox{\boldmath$n$}'$ の分子を $\mbox{\boldmath$\hat{r}$}'\vert\mbox{\boldmath$\hat{r}$}\vert^2-\mbox{\boldmath$\hat{r}$}(\mbox{\boldmath$\hat{r}$}\mathrel{・}\mbox{\boldmath$\hat{r}$}')=(X,Y)$ とすると、

$$\begin{eqnarray*}X &=& \vert\mbox{\boldmath$r$}'\vert^2 y'' - y'(\mbox{\boldma... ...(x'x''+y'y'') \\ &=& -(y')^2x''+x'y'y'' \ =\ y'(x'y''-x''y')\end{eqnarray*}$$

となる。よって $(X,Y)=(x'y''-x''y')\mbox{\boldmath$r$}'$ となり、 (5) より

  $$\mbox{\boldmath$n$}'(t) = \frac{(X,Y)}{\vert\mbox{\boldmath$r$... ...\vert\mbox{\boldmath$r$}'\vert^3}\,\mbox{\boldmath$r$}'=\mu\mbox{\boldmath$r$}'$$ (12)

となることがわかる。 よって、 $\mbox{\boldmath$q$}'=\mbox{\boldmath$r$}'+a\mbox{\boldmath$n$}'=(1+a\mu)\mbox{\boldmath$r$}'$ となり、 (6) より $\vert\mbox{\boldmath$q$}'\vert=(1+a\mu)\vert\mbox{\boldmath$r$}'\vert$ だから、 結局 (11) は、

  $$\Delta\ell =\int_c^d(1+a\mu)\vert\mbox{\boldmath$r$}'\vert dt ... ...rt\mbox{\boldmath$r$}'\vert dt =a\int_c^d\frac{x'y''-x''y'}{(x')^2+(y')^2}\,dt$$ (13)

と書けることになる。