3 基本周期が存在しない関数

周期関数 $f(x)$ の基本周期は以下のように定義した。

定義 6

周期関数 $f(x)$ の正の周期のうち最小値 $T_0(>0)$ が存在する場合、 それを $f(x)$ の基本周期と呼び、 $\mathop{\rm Per}(f)=T_0$ と書く。

この「存在する」とは、「正の周期のうちの最小値」の存在のことを 指している。 例えば $f(x)=\sin x$ であれば、 正の周期は $2\pi,4\pi,6\pi,\ldots$ なので、最小値は $2\pi$ となる。

逆にその最小値が存在しない状態とは、 正だがいくらでも小さい周期が存在する、という状態を指す。 そのような例は、区分的連続関数の範疇には存在しないが、 区分的連続性を除いた定義 2 の元では、 正のいくらでも小さい周期を持つ関数を作ることができる。

例

• 関数 $f(x)$ を、
  $$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & (\mbox{$x$\ が有理数のとき})\\ 0 & (\mbox{$x$\ が無理数のとき}) \end{array}\right.$$ (1)
  とし (ディリクレの関数とも呼ばれる)、 $T$ を任意の 0 でない有理数とすると、 $x$ が有理数なら $x+T$ も有理数なので $f(x)=f(x+T)=0$、 $x$ が無理数なら $x+T$ も無理数なので $f(x)=f(x+T)=1$ となり、 よって定義 2 の元では、 任意の有理数 $T$ がこの関数の周期となるので、 正のいくらでも小さい周期が存在し、 この $f(x)$ が定数ではないが、基本周期を持たない例となる。

  なお、この $f(x)$ はすべての $x$ で連続ではなく、 0 と 1 の値を非常に激しく振動しながら取る関数になる。

このように一般の不連続関数まで許せば、 定義 2 の元では基本周期が存在しない関数が作れるが、 一方で区分的連続性を課した定義 1 の元では、 このようなことは起きないことが示される。

命題 3.1

• 定義 1 の元では、 基本周期を持たない周期関数は、実質的に定数、 すなわち離散的な点を除いてある定数関数に一致する。

証明

$f(x)$ が区分的に連続で、 $T_1>T_2>T_3>\ldots$ が $f(x)$ の周期であり、 $$\lim_{n\rightarrow \infty}{T}_n=0$$ とする。

$f(x)$ の連続点 $a,b$ ($a<b$) を任意に取る。 $(b-a)/T_n$ の整数部分を $m_n$、小数部分を $p_n$ とする ($0\leq p_n<1$)。 このとき $b-a=m_nT_n+p_nT_n$ で、$T_n$ は $f(x)$ の周期だから

$$f(b) = f(a+m_nT_n+p_nT_n) = f(a+p_nT_n)$$

となる。ここで、$0\leq p_n<1$ より $0\leq p_nT_n<T_n$ だから $$\lim_{n\rightarrow \infty}{p}_nT_n = 0$$ となり、$f(x)$ は $a$ で連続なので、

$$f(b) = f(a+p_nT_n) \rightarrow f(a)$$

となる。よって $f(b)=f(a)$ が成り立ち、 $f(x)$ は連続点ですべて同じ値を取ることになり、 よって、離散的な点を除いて $f(x)$ は定数となる。

なお、この証明では、$f(x+T)=f(x)$ の成立をすべての $x$ で、と見たが、 定義 4, 定義 5 のように $f(x)$ の連続点でのみ成立する、としても同じことが示される。 それは、上の証明の

$$f(a+m_nT_n+p_nT_n) = f(a+p_nT_n)$$

の箇所で、 $b=a+m_nT_n+p_nT_n$ は $f(x)$ の連続点であり、 よって、$a+p_nT_n$ が $f(x)$ の連続点でないような $n$ を除外して 考えればよいからである。それにより除外されない $n$ が無限個存在する 必要があるが、 $B=\{a+p_nT_n\}$ とすると

• ひとつでも $p_n=0$ となる $n$ がある場合、 その $n$ に対し $a+p_nT_n=a$ だから $f(b)=f(a)$ が成立する。
• すべての $n$ で $p_n\neq 0$ の場合、$B$ は (重複はあるかもしれないが) 無限集合で $a$ に収束する点列なので、 区分的連続の仮定によりその中に $f(x)$ の不連続点が 無限個含まれることはない。よって $a$ に収束し $f(x)$ の連続点で あるような $B$ の無限部分列を取ることができ、 その $n$ に対しては $f(b)=f(a+p_nT_n)$ が成立し、 よってその極限により $f(b)=f(a)$ が得られる。

よって、定義 4, 定義 5 の元でも 命題 3.1 が成立することがわかる。