2 周期関数の定義について

講義のフーリエ級数では、周期関数を以下のように定義した。

定義 1

実数全体で定義された区分的連続関数 $f(x)$ が周期 $T$ ($T\neq 0$) を持つ周期関数であるとは、すべての $x$ に対して $f(x+T)=f(x)$ が 成り立つこと。

なお、$f(x)$ が区分的連続関数とは、$f(x)$ の不連続点集合 $A$ が 離散的、すなわち集積点を持たず (収束する点列を含まない)、 $A$ の各点 $x$ で、両側の極限値

$$f(x+0)=\lim_{t\rightarrow x+0}f(t),\hspace{1zw}f(x-0)=\lim_{t\rightarrow x-0}f(t)$$

が存在するような関数のことを言う。

しかし、定義 1 は、 通常の周期関数の定義とは若干異なる部分もあるので、注意が必要。

[ア] 定義 1 は「実数全体で定義された」 「区分的連続関数」と断わっているので、 例えば通常は周期関数として扱う $\tan x$ のような、 定義できない点を含むような関数や有界でない関数が含まれないことになる。

[イ] 定義 1 は「すべての $x$ に対して」 $f(x+T)=f(x)$ が成り立つことを要請しているが、 区分的連続関数を含む不連続関数では、不連続点での値は 定義しない (あまり考えない) ことも少なくない。 特にルベーグ積分で周期関数を扱う場合は、 区分的連続関数であっても不連続点での値を定めることはあまり意味がない。

まず、[ア] の $\tan x$ に関しては、 定義 1 を以下のいずれかのように変えれば解消できる。

定義 2

実数全体から離散的な点を除いて定義された関数 $f(x)$ が 周期 $T$ ($T\neq 0$) を持つ周期関数であるとは、 すべての $x$ に対して $f(x+T)=f(x)$ が成り立つこと。 ただし、左辺か右辺の一方が定義されない場合は、 両辺ともに定義されない状態であることとし、 その意味で等号が成立すると見る。

定義 3

実数全体から離散的な点を除いて定義された関数 $f(x)$ が 周期 $T$ ($T\neq 0$) を持つ周期関数であるとは、 ある離散的な集合外のすべての $x$ に対して $f(x+T)=f(x)$ が成り立つこと。 ただし、前者の「離散的」な集合と後者の「離散的」な集合は 一致する必要はない (後者が前者を含む)。

$\tan x$ が周期 $\pi$ の周期関数である、というのは、 多分通常は暗黙のうちに定義 2 を 採用しているのではないかと思われる。

定義 2 と定義 3 は同値ではなく、 定義 2 の意味の周期関数は、 定義 3 でも周期関数となるが、 定義 3 の意味の周期関数は、 定義 2 では周期関数となるとは限らない。 例えば $\tan x$ に対して $x=\pi/2$ でのみ 0 と定義し改変した関数は 定義 3 は満たすが、定義 2 は 満たさない。

当然定義 1 の方が、 定義 2、定義 3 よりも 課する条件が強いので、定義 1 の意味の周期関数は、 定義 2、定義 3 でも 周期関数となる。

また、[イ] の不連続点の扱いについては、 定義 2 のようにその点では不連続という状態が 同じとみたり、 定義 3 のようにその点を除外して定義する という手がある。

定義 4

実数全体から離散的な点を除いて定義された区分的に連続な関数 $f(x)$ が 周期 $T$ ($T\neq 0$) を持つ周期関数であるとは、 すべての $x$ に対して $f(x+T)=f(x)$ が成り立つこと。 ただし、不連続点では両辺ともに不連続、という状態であることとし、 その意味で等号が成立すると見る。

定義 5

実数全体から離散的な点を除いて定義された区分的に連続な関数 $f(x)$ が 周期 $T$ ($T\neq 0$) を持つ周期関数であるとは、 ある離散的な集合外のすべての $x$ に対して $f(x+T)=f(x)$ が成り立つこと。 ただし、前者の「離散的」な集合と後者の「離散的」な集合は 一致する必要はない (後者が前者を含む)。

これらのように定義すれば、$\tan x$ は含まないが、 不連続点での値は考える必要はなくなる (定義もしなくてよい)。 なおこれも、定義 4 の方が 定義 5 よりも若干条件が強いので、 定義 5 は満たすが、 定義 4 は満たさない関数が存在する。

なお、ルベーグ積分で考える場合は、 いっそ「0 集合を除いて $f(x+T)=f(x)$ が成立」としてしまうのが楽であるが、 それは本稿の範囲を越えるので省略する。