3 正則変換の場合

本節以降で、$A$ に関する場合分けをして考えていく。 本節では、まず $n=m$ で $A$ が正則、すなわち $B=A^{-1}$ が存在する場合を 考える。

この場合、(4) は、

  $$\overrightarrow{x}=B\overrightarrow{y}+\overrightarrow{c}, \hspace{1zw}\overrightarrow{c}=-B\overrightarrow{b}$$ (11)

と変形できる。

$(y_1,\ldots,y_n)$ の分布関数 $G(\overrightarrow{y})=G(y_1,\ldots,y_n)$ は、

  $$G(t_1,\ldots,t_n) = \mathrm{Prob}\{y_1\leq t_1,\ldots,y_n\leq t_n\}$$ (12)

と定義されるが、 $y_i=\overrightarrow{\hat{\alpha}}_i\overrightarrow{x}+b_i$、 および $\overrightarrow{x}$ の密度関数 $f(\overrightarrow{x})$ を用いてこれは、

  $$G(t_1,\ldots,t_n) = \int_{H(\scriptsize\overrightarrow{t})}f(\... ...errightarrow{\hat{\alpha}}_i\overrightarrow{x}+b_i\leq t_i \ (1\leq i\leq n)\}$$ (13)

の形に書くことができる。 この積分を (11) で変数変換すると、 そのヤコビ行列式は、

$$J=\left\vert\frac{\partial\overrightarrow{x}}{\partial\overrightarrow{y}}\right\vert =\vert B\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*}G(t_1,\ldots,t_n) &=& \mathop{\rm abs}(\vert B\vert)\int_{L(\... ...overrightarrow{y}\ \vert\ y_i\leq t_i \ (1\leq j\leq n)\}\right)\end{eqnarray*}$$

となる。なお、 $\mathop{\rm abs}(x)$ は $x$ の絶対値とする。 $G(\overrightarrow{y})$ を $y_1,\ldots,y_n$ で微分したものが $(y_1,\ldots,y_n)$ の密度関数 $g(\overrightarrow{y})$ となるので、

  $$g(\overrightarrow{y}) = \mathop{\rm abs}(\vert B\vert)f(B\overrightarrow{y}+\overrightarrow{c})$$ (14)

となる。よって、 $y_1,\ldots,y_n$ が独立であることは、 この $g(\overrightarrow{y})$ が、各 $y_j$ の関数の積に書けることと同値になる。

(9) より、

  $$g(\overrightarrow{y})=\mathop{\rm abs}(\vert B\vert)f(B\overrigh... ...{2\pi})^n}e^{-\vert\scriptsize B\overrightarrow{y}+\overrightarrow{c}\vert^2/2}$$ (15)

となるが、

$$\vert B\overrightarrow{y}+\overrightarrow{c} \vert^2 = \left\vert\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{\beta}_1&\cdots... ...\vert\sum_{i=1}^n\overrightarrow{\beta}_j y_j+\overrightarrow{c}\,\right\vert^2$$

$$= \sum_{i=1}^n d_iy_i^2+2\sum_{1\leq i<j\leq n}p_{i,j}y_iy_j +2\sum_{i=1}^n r_iy_i +c,$$ (16)

$$d_i=\vert\overrightarrow{\beta}_i\vert^2, \hspace{0.5zw}p_{i,j}=\... ...\mathrel{・}\overrightarrow{c}, \hspace{0.5zw}c = \vert\overrightarrow{c}\vert^2$$

となるので、 密度関数 (15) が各 $y_j$ の関数の積になることは、 $1\leq i<j\leq n$ となるすべての $i,j$ に対して $y_iy_j$ の係数 $p_{i,j}$ が 0 になることと同値になる。 そしてそれは、 $p_{i,j}=\overrightarrow{\beta}_i\mathrel{・}\overrightarrow{\beta}_j$ より、 $B=A^{-1}$ の列ベクトル $\overrightarrow{\beta}_1,\ldots,\overrightarrow{\beta}_n$ が 互いに垂直であることを意味する。 この場合はこれが $y_1,\ldots,y_n$ の独立性の条件となる。

この $B$ の列ベクトル $\overrightarrow{\beta}_j$ に関する条件を、 元の行列 $A$ に関する条件に書き直す。

命題 1

$n\times n$ 行列 $P$ が $\vert P\vert\neq 0$ で、その逆行列を $Q=P^{-1}$ とし、

$$P=\left[\begin{array}{c}\overrightarrow{\hat{p}}_1\\ \vdots\\ \ov... ...array}{ccc}\overrightarrow{q}_1&\cdots&\overrightarrow{q}_n\end{array}\right]$$

とするとき、 $\overrightarrow{q}_1,\ldots\overrightarrow{q}_n$ が互いに垂直であることと、 $\overrightarrow{\hat{p}}_1,\ldots\overrightarrow{\hat{p}}_n$ が互いに垂直であることは同値。

証明

$PQ = \left[\overrightarrow{\hat{p}}_i\overrightarrow{q}_j\right]_{n,n}=E$ より $\overrightarrow{\hat{p}}_i\overrightarrow{q}_j=\delta_{i,j}$ となるから、 ${}^t\overrightarrow{\hat{p}}_i$ は $\overrightarrow{q}_i$ 以外の $\overrightarrow{q}_j$ すべてに垂直、 ${}^t\overrightarrow{q}_j$ は $\overrightarrow{\hat{p}}_j$ 以外の $\overrightarrow{\hat{p}}_i$ すべてに垂直、となる。

よって、今 $\overrightarrow{q}_1,\ldots\overrightarrow{q}_n$ が互いに垂直であるとすると、 ${}^t\overrightarrow{\hat{p}}_i\mathrel{/\!/}\overrightarrow{q}_i$ となり、 ${}^t\overrightarrow{\hat{p}}_i=c_i\overrightarrow{q}_i$ と書け、

$$\overrightarrow{\hat{p}}_i\overrightarrow{q}_i =c_i{}^t\overrightarrow{q}_i\overrightarrow{q}_i =c_i\vert\overrightarrow{q}_i\vert^2=1$$

より $c_i=1/\vert\overrightarrow{q}_i\vert^2$ となる。よって、 $\overrightarrow{\hat{p}}_i={}^t{\overrightarrow{q}_i}/\vert\overrightarrow{q}_i\vert^2$ ($1\leq i\leq n$) は 互いに垂直となる。逆も同様。

この命題 1 より、 $B$ の列ベクトルの垂直性は $A$ の行ベクトルの垂直性と同値になる。 結局、$A$ が正則な場合は、 $y_1,\ldots,y_n$ が独立であることは、 A の行ベクトル $\overrightarrow{\hat{\alpha}}_1,\ldots,\overrightarrow{\hat{\alpha}}_n$ が 互いに垂直であることが条件となる。

例えば、$n=2$ の場合、 $x_1,x_2\sim N(0,1)$ が独立であり、 $y_1=ax_1+bx_2$, $y_2=cx_1+dx_2$ で $ad-bc\neq 0$ の場合、 $y_1,y_2$が独立であることは、$ac+bd=0$ と同値となるので、 $y_1=x_1+x_2$ と $y_2=x_1-x_2$ は独立、 $y_1=2x_1+3x_2$ と $y_2=3x_1-2x_2$ は独立だが、 $y_1=x_1$ と $y_2=x_1+x_2$ は独立ではない。