3 恒等式

まず、$z=f(x,y)$ が $x=g(y,z)$ と解けたと仮定するが、 解けることは、例えば $\partial z/\partial x\neq 0$ を満たしていれば可能である (厳密には陰関数定理)。

そしてこの場合、$z=f(x,y)$ と $x=g(y,z)$ は同じ式を意味することになるので、 一方に他方を代入した、

  $$z = f(g(y,z),y)$$ (6)

は $y,z$ の恒等式で、

  $$x = g(y,f(x,y))$$ (7)

は $x,y$ の恒等式になることに注意する。

これは、少し具体例で説明する。「$y,z$ の恒等式」とは、 すべての $y,z$ について成り立つ式、という意味で、 「方程式」とは異なる。 例えば、

  $$z = f(x,y) = 5x+3xy^2-7$$ (8)

という関数の場合、これを $x$ について解いたものが $x=g(y,z)$ なので、

$$z=x(5+3y^2)-7, \hspace{1zw}z+7 = x(5+3y^2)$$

より、

  $$x = g(y,z) = \frac{z+7}{5+3y^2}$$ (9)

となる。 さて、この (9) を (8) に代入すると、

$$\begin{eqnarray*}f(g(y,z), y) &=& 5g(y,z)+3g(y,z)y^2 - 7 \ =\ (5+3y^2)g(y,z)-7 \\ &=& z+7-7 \ =\ z\end{eqnarray*}$$

となり、確かにすべての $y,z$ に対して (6) となるし、 逆に (8) を (9) に代入すれば、

$$\begin{eqnarray*}g(y,f(x,y)) &=& \frac{f(x,y)+7}{5+3y^2} \ =\ \frac{5x+3xy^2-7+7}{5+3y^2} \ =\ \frac{(5+3y^2)x}{5+3y^2} \\ &=& x\end{eqnarray*}$$

となり、すべての $x,y$ に対して (7) となることが わかる。