4 累次積分を順に計算

前節で求めた公式を用い、 (2) の累次積分を順に計算する。

(2) の内側の積分を $f_1(x)$ と書くと、 (4) により、

	$$f_1(x)$$	$=$	$$\int_0^2\sqrt{y^2+x^2+1}\,dy$$
		$=$	$$\left[\frac{y}{2}\sqrt{y^2+x^2+1} -\frac{x^2+1}{2}\log\vert\sqrt{y^2+x^2+1}-y\vert\right]_{y=0}^{y=2}$$
		$=$	$$\sqrt{x^2+5}-\frac{x^2+1}{2}\log\vert\sqrt{x^2+5}-2\vert -\left(0-\frac{x^2+1}{2}\log\sqrt{x^2+1}\right)$$
		$=$	$$\sqrt{x^2+5}+\frac{x^2+1}{4}\log(x^2+1) -\frac{x^2+1}{2}\log\vert\sqrt{x^2+5}-2\vert$$

となる。この最後の 3 項の $[0,2]$ での積分をそれぞれ $S_1$, $S_2$, $S_3$ と書くことにすれば $S=S_1+S_2+S_3$ と なる。これを順に考える。

まず $S_1$ は、再び公式 (4) により、

	$$S_1$$	$=$	$$\int_0^2\sqrt{x^2+5}\,dx \ =\ \left[\frac{x}{2}\sqrt{x^2+5} -\frac{5}{2}\log\vert\sqrt{x^2+5}-x\vert\right]_0^2$$
		$=$	$$\sqrt{9}-\frac{5}{2}\log\vert\sqrt{9}-2\vert -\left(0-\frac{5}{2}\log\sqrt{5}\right)$$
		$=$	$$3+\frac{5}{4}\log 5$$	(6)

となる。

$S_2$ は、部分積分により $\log$ を消せば積分でき、

	$$S_2$$	$=$	$$\frac{1}{4}\int_0^2(x^2+1)\log(x^2+1) dx \ =\ \frac{1}{4}\int_0^2\left(\frac{x^3}{3}+x\right)'\log(x^2+1) dx$$
		$=$	$$\frac{1}{4}\left[\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\log(x^2+1)\right]_0^2 -\frac{1}{4}\int_0^2\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\frac{2x}{x^2+1}dx$$
		$=$	$$\frac{1}{4}\left(\frac{8}{3}+2\right)\log 5 - 0 -\frac{1}{6}\int_0^2\frac{x^4+3x^2}{x^2+1}dx$$
		$=$	$$\frac{7}{6}\log 5 -\frac{1}{6}\int_0^2\frac{x^4+3x^2}{x^2+1}dx$$	(7)

と書ける。ここで、

$$\frac{x^4+3x^2}{x^2+1} = x^2+2 - \frac{2}{x^2+1}$$ (8)

よりさらに、

	$$S_2$$	$=$	$$\frac{7}{6}\log 5 -\frac{1}{6}\int_0^2\left(x^2+2-\frac{2}{x^2+1}\right)dx$$
		$=$	$$\frac{7}{6}\log 5 -\frac{1}{6}\left[\frac{x^3}{3}+2x-2\tan^{-1}x\right]_0^2$$
		$=$	$$\frac{7}{6}\log 5 -\frac{1}{6}\left(\frac{8}{3}+4-2\tan^{-1}2\right) \ =\ \frac{7}{6}\log 5 -\frac{10}{9}+\frac{1}{3}\tan^{-1}2$$	(9)

と求めることができる。

あとは $S_3$ であるが、これも部分積分により $\log$ を消すと、

	$$S_3$$	$=$	$$-\frac{1}{2}\int_0^2(x^2+1)\log\vert\sqrt{x^2+5}-2\vert dx$$
		$=$	$$-\frac{1}{2}\int_0^2\left(\frac{x^3}{3}+x\right)'\log\vert\sqrt{x^2+5}-2\vert dx$$
		$=$	$$-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\log\vert\sqrt{x^2+... ...^3}{3}+x\right) \frac{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+5}}}{\sqrt{x^2+5}-2}\,dx$$
		$=$	$$-\frac{1}{2}\left(\frac{8}{3}+2\right)\log\vert\sqrt{9}-2\vert-0 +\frac{1}{6}\int_0^2\frac{x^4+3x^2}{\sqrt{x^2+5}(\sqrt{x^2+5}-2)}\,dx$$
		$=$	$$\frac{1}{6}\int_0^2\frac{(x^4+3x^2)(\sqrt{x^2+5}+2)}{\sqrt{x^2+5} \,(x^2+1)}\,dx$$
		$=$	$$\frac{1}{6}\int_0^2\frac{x^4+3x^2}{x^2+1}\,dx +\frac{1}{3}\int_0^2\frac{x^4+3x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+5}}\,dx$$

となるが、この最初の項は (7) の最後の項の項に等しいので、

$$S_2+S_3 = \frac{7}{6}\log 5 + \frac{1}{3}\int_0^2\frac{x^4+3x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+5}}\,dx$$ (10)

となることがわかる。この (10) の右辺の積分の項を $S_4$ とする。

この $S_4$ の被積分関数に (8) を用いて変形すると、

	$$\frac{x^4+3x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+5}}$$	$=$	$$\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+5}}-\frac{2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+5}}$$
		$=$	$$\frac{x^2+5-3}{\sqrt{x^2+5}}-\frac{2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+5}}$$
		$=$	$$\sqrt{x^2+5}-\frac{3}{\sqrt{x^2+5}}-\frac{2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+5}}$$

となるので、$S_4$ は、

	$$S_4$$	$=$	$$\frac{1}{3}\int_0^2\sqrt{x^2+5}\,dx -\int_0^2\frac{dx}{\sqrt{x^2+5}} -\frac{2}{3}\int_0^2\frac{dx}{(x^2+1)\sqrt{x^2+5}}$$
		$=$	$$S_5+S_6+S_7$$	(11)

と分けられ、$S_5$ は $S_1/3$ に等しく、 $S_6$ は公式 (3) より、

$$S_6 = \left[\log\vert\sqrt{x^2+5}-x\vert\right]_0^2 = \log\vert\sqrt{9}-2\vert-\log\sqrt{5} = -\frac{1}{2}\log 5$$ (12)

となる。あとは $S_7$ を求めればよい。 この $S_7$ の形の積分にも、目の覚めるような公式

$$\int\frac{dx}{(x^2+b)\sqrt{x^2+a}} =\frac{1}{\sqrt{b(a-b)}}\tan^{-1} \left(\frac{x\sqrt{a-b}}{\sqrt{b}\sqrt{x^2+a}}\right)+C \hspace{1zw}(a>b>0)$$

があるのだが([1], [2])、ここではこれを用いることなく、 前に使用した置換 (5) で泥臭く計算してみる。 $a=5$ の (5) を用いれば、

			$$x=\frac{5-t^2}{2t}, \hspace{1zw}dx=-\frac{5+t^2}{2t^2}dt, \hspace{1zw}\sqrt{x^2+5}=\frac{5+t^2}{2t},$$
			$$x^2+1=\frac{(5-t^2)^2}{4t^2}+1=\frac{t^4-6t^2+25}{4t^2}$$

より、

	$$S_7$$	$=$	$$-\frac{2}{3}\int_{\sqrt{5}}^{\sqrt{9}-2}\frac{4t^2}{t^4-6t^2+25} \,\frac{2t}{5+t^2}\left(-\frac{5+t^2}{2t^2}\right)dt$$
		$=$	$$-\frac{2}{3}\int_1^{\sqrt{5}}\frac{4tdt}{t^4-6t^2+25} \ =\ -\frac{2}{3}\int_1^{5}\frac{2ds}{s^2-6s+25}\hspace{1zw}(t^2=s)$$
		$=$	$$-\frac{2}{3}\int_1^{5}\frac{2ds}{(s-3)^2+16} \ =\ -\frac{2}{3}\int_{-1/2}^{1/2}\frac{8du}{16(u^2+1)}\hspace{1zw}(s-3=4u)$$
		$=$	$$-\frac{2}{3}\int_{0}^{1/2}\frac{du}{u^2+1} \ =\ -\frac{2}{3}\left[\tan^{-1}{u}\right]_0^{1/2} \ =\ -\frac{2}{3}\tan^{-1}\frac{1}{2}$$	(13)

となる。 よって、(11), (12), (13) より

$$S_4 = S_5 + S_6 + S_7 =\frac{S_1}{3}-\frac{1}{2}\log5 -\frac{2}{3}\tan^{-1}\frac{1}{2}$$

となり (10) より

$$S_2+S_3 = \frac{7}{6}\log 5+S_4 = \frac{S_1}{3}+\frac{2}{3}\log5 -\frac{2}{3}\tan^{-1}\frac{1}{2}$$

となるので、結局 $S$ は

	$$S$$	$=$	$$S_1 + S_2 + S_3 \ =\ \frac{4}{3}S_1 +\frac{2}{3}\log5 -\frac{2}{3}\tan^{-1}\frac{1}{2}$$
		$=$	$$4 + \frac{7}{3}\log 5-\frac{2}{3}\tan^{-1}\frac{1}{2}$$	(14)

となることがわかった。