2 スケール変換

まず、(1) を簡単にスケール変換する。

(1) の被積分関数は $x$ に関しても $y$ に関しても 偶関数なので、

$$S =\int_{-1}^1\left\{2\int_0^1\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dy\right\}dx = 4\int_0^1\left\{\int_0^1\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dy\right\}dx$$

となり、さらに $2x=\bar{x}$, $2y=\bar{y}$ と置換すれば、

$$S = 2\int_0^1\left\{\int_0^2\sqrt{1+4x^2+\bar{y}^2}\,d\bar{y}\rig... ...\int_0^2\left\{\int_0^2\sqrt{1+\bar{x}^2+\bar{y}^2}\,d\bar{y}\right\} d\bar{x}$$

となる。以後この形で考えるが、この積分変数を改めて $x,y$ に変えて

$$S = \int_0^2\left\{\int_0^2\sqrt{1+x^2+y^2}\,dy\right\}dx$$ (2)

と書くことにする。