3 積分公式

まずは、(2) を累次積分を順に計算するための 次の積分公式を示す。

	$$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}$$	$=$	$$- \log\vert\sqrt{x^2+a}-x\vert+C,$$	(3)
	$$\int\sqrt{x^2+a}\,dx$$	$=$	$$\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a} - \frac{a}{2}\log\vert\sqrt{x^2+a}-x\vert+C$$	(4)

(3) を示すには、 右辺を微分して左辺の被積分関数になることを確認するのが簡単だが、 せっかくなので置換積分で左辺から右辺を導くことにする。 それには、

$$t=\sqrt{x^2+a}-x$$ (5)

という少し特殊な置換積分を使用する。このとき、

$$\sqrt{x^2+a}=t+x, \hspace{0.5zw}x^2+a=t^2+2tx+x^2, \hspace{0.5zw}x=\frac{a-t^2}{2t} = \frac{a}{2}t^{-1}-\frac{t}{2}$$

なので、

	$$dx$$	$=$	$$\left(-\frac{a}{2}t^{-2}-\frac{1}{2}\right)dt = -\,\frac{a+t^2}{2t^2}\,dt$$
	$$\sqrt{x^2+a}$$	$=$	$$t+x \ =\ \frac{a}{2}t^{-1}+\frac{t}{2} \ =\ \frac{a+t^2}{2t}$$

より、

	$$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}$$	$=$	$$-\int\frac{2t}{a+t^2}\,\frac{a+t^2}{2t^2}\,dt \ =\ -\int\frac{dt}{t} \ =\ -\log\vert t\vert+C$$
		$=$	$$-\log\vert\sqrt{x^2+a}-t\vert+C$$

となる。 (4) の方は、 (3) を部分積分すれば得られる。 (3) の左辺を $I$ とすると、

	$$I$$	$=$	$$\int (x)'\sqrt{x^2+a}\,dx \ =\ x\sqrt{x^2+a} - \int x\,\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}\,dx$$
		$=$	$$x\sqrt{x^2+a} - \int \frac{x^2+a-a}{\sqrt{x^2+a}}\,dx \ =\ x\sqrt{x^2+a} - I + a\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}$$

となるので、

$$I = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}} = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}-\frac{a}{2}\log\vert\sqrt{x^2+a}-x\vert+C$$

となり (4) が得られる。