3 三角関数に逆三角関数を代入

まずは、三角関数に逆三角関数を代入した合成関数を考える。

三角関数は $\sin,\cos,\tan$, 逆三角関数は $\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$ を使うとすると、 全部で 9 種類あることになる。

まず次の 3 つは定義より容易にわかる。

$$\left\{\begin{array}{ll} \sin(\sin^{-1}y) = y& (-1\leq y\leq 1)... ...1\leq y\leq 1)\\ \tan(\tan^{-1}y) = y& (-\infty<y<\infty) \end{array}\right.$$ (5)

厳密に言えば、定義からは、例えば

$$\left.\sin\right\vert _{[-\pi/2,\pi/2]}(\sin^{-1}y) = y \hspace{1zw}(-1\leq y\leq 1)$$

となるのだが、$\sin^{-1}y$ の値域である $[-\pi/2,\pi/2]$ 上では $\left.\sin\right\vert _{[-\pi/2,\pi/2]}(\theta) = \sin\theta$ なので、 (5) の 1 つ目が成り立つ、という具合である。 他の 2 つも同様であるが、だからこの逆の

$$\sin^{-1}(\sin\theta) = \theta$$

は一般には成立しない。それがどうなるかについては、次節で紹介する。

次は、外側と内側が違う三角関数である場合のものを紹介する。 まずは内側がアークサインのもの。

$$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \cos(\sin^{-1}y) = \sqrt... ...aystyle \tan(\sin^{-1}y) = \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}& (-1<y<1) \end{array}\right.$$ (6)

この 2 つは、[2] で紹介した、

$$\cos^{-1}\sqrt{1-y^2} = \sin^{-1}y\hspace{0.5zw}(0\leq y\leq 1), \hspace{1zw}\tan^{-1}\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} = \sin^{-1}y\hspace{0.5zw}(-1<y<1)$$

と (5) を組み合わせれば容易に得られる。 なお、 $\cos(\sin^{-1}y)$ の $-1\leq y<0$ の部分に関しては、 $0<-y\leq 1$ と (4) を用いれば、

$$\cos^{-1}\sqrt{1-y^2} = \sin^{-1}(-y) = -\sin^{-1}y$$

より、

$$\sqrt{1-y^2}=\cos\Bigl(\cos^{-1}\sqrt{1-y^2}\Bigr) = \cos(-\sin^{-1}y) = \cos(\sin^{-1}y)$$

となって、この場合も成立することがわかる。

次は内側がアークコサインのもの。

$$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \sin(\cos^{-1}y) = \sqrt... ...{-1}y) = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}& (-1\leq y\leq 1,\ y\neq 0) \end{array}\right.$$ (7)

この 2 つは、[2] で紹介した、

$$\sin^{-1}\sqrt{1-y^2} = \cos^{-1}y\hspace{0.5zw}(0\leq y\leq 1), \hspace{1zw}\tan^{-1}\frac{\sqrt{1-y^2}}{y} = \cos^{-1}y\hspace{0.5zw}(0<y\leq 1)$$

と (5) を組み合わせれば容易に得られる。 なお、いずれも $y<0$ の場合が欠けているが、 $-1\leq y<0$ の場合は (4) より

$$\sin^{-1}\sqrt{1-y^2} = \cos^{-1}(-y) = \pi - \cos^{-1}y$$

なので

$$\sqrt{1-y^2}=\sin\Bigl(\sin^{-1}\sqrt{1-y^2}\Bigr) = \sin(\pi-\cos^{-1}y) = \sin(\cos^{-1}y)$$

となって (7) の 1 つ目は成り立ち、 2 つ目の方は、$-1\leq y<0$ の場合は

$$\tan^{-1}\frac{\sqrt{1-y^2}}{y} = - \tan^{-1}\frac{\sqrt{1-y^2}}{-y} = - \cos^{-1}(-y) = \cos^{-1}y - \pi$$

となるので、

$$\frac{\sqrt{1-y^2}}{y} = \tan\left(\tan^{-1}\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}\right) = \tan(\cos^{-1}y - \pi) = \tan(\cos^{-1}y)$$

より (7) の 2 つ目も成り立つことになる。 最後は、内側がアークタンジェントのもの。

$$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \sin(\tan^{-1}y) = \frac... ...os(\tan^{-1}y) = \frac{1}{\sqrt{1+y^2}}& (-\infty<y<\infty) \end{array}\right.$$ (8)

この 2 つは、[2] で紹介した、

$$\sin^{-1}\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} = \tan^{-1}y\hspace{0.5zw}(-\inft... ...hspace{1zw}\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{1+y^2}} = \tan^{-1}y\hspace{0.5zw}(y\geq 0)$$

と (5) を組み合わせれば容易に得られる。 なお、後者は $y<0$ の場合が欠けているが、その場合は

$$\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{1+y^2}} = \tan^{-1}(-y) = -\tan^{-1}y$$

となるので

$$\frac{1}{\sqrt{1+y^2}} = \cos\left(\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\right) = \cos(-\tan^{-1}y) = \cos(\tan^{-1}y)$$

よりこの場合も (8) の 2 つ目は成り立つ。