2 逆三角関数の定義と偶奇性

まずはあらためて逆三角関数の定義から。 なお、講義の教科書 [1] では、逆三角関数のアークサイン等は、 $\arcsin$ ではなく $\sin^{-1}$ の記号を用いているので、 本稿でもそれに従う。

アークサイン $\theta=\sin^{-1} y$ は、 「$y=\sin\theta$」の逆関数ではなく、 その単調な部分

$$y=\sin\theta \hspace{1zw}\Bigl(-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\Bigr)$$ (1)

の逆関数。

数学では、$I$ で定義された関数 $f(x)$ の定義域を $J\subset I$ に 制限した関数を $\left.f\right\vert _J(x)$ のように書くが、この記号を使えば、 $\theta=\sin^{-1} y$ は

$$y=\left.\sin\right\vert _{[-\pi/2,\pi/2]}(\theta)$$ (2)

の逆関数、ということになる。 同様にアークコサイン $\theta=\cos^{-1} y$、 アークタンジェント $\theta=\tan^{-1} y$ は、それぞれ

$$y=\left.\cos\right\vert _{[0,\pi]}(\theta), \hspace{1zw}y=\left.\tan\right\vert _{(-\pi/2,\pi/2)}(\theta)$$ (3)

の逆関数である。

アークサインとアークタンジェントは奇関数だが、 アークコサインは偶関数でも奇関数でもなく、

$$\left\{\begin{array}{ll} \sin^{-1}(-y) = -\sin^{-1}y & (-1\leq ... ...fty)\\ \cos^{-1}(-y) = \pi-\cos^{-1} y & (-1\leq y\leq 1) \end{array}\right.$$ (4)

となる。最初の 2 つは $\sin$, $\tan$ が奇関数だから自明で、 3 つ目のものは、 $\cos^{-1}(y) =\theta$ とすれば、 $0\leq\theta\leq\pi$ で、

$$\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta = -y \hspace{1zw}(0\leq\pi-\theta\leq\pi)$$

より

$$\cos^{-1}(-y)=\pi-\theta = \pi-\cos^{-1}y$$

となる。