6 行列の積

帰納的な行列式の定義の場合、一番厄介なのは「行列式の積が、積の行列式」 になるという性質の証明であろう。 この事実を、帰納法が使えるように拡張した形で証明する。

まず、次のような記法を導入する。 $m\times n$ 行列 $A$ に対し、

• $A^{i_1,i_2,\ldots,i_k}$ = $A$ の $i_1$ 行, $i_2$ 行,..., $i_k$ 行を 上から順に並べた $m\times k$ 行列
• $A_{j_1,j_2,\ldots,j_l}$ = $A$ の $j_1$ 列, $j_2$ 列,..., $j_l$ 列を 左から順に並べた $l\times n$ 行列
• $$A^{i_1,i_2,\ldots,i_k}_{j_1,j_2,\ldots,j_l} =(A^{i_1,i_2,\ldots,i_k})_{j_1,j_2,\ldots,j_l}$$ ($k\times l$ 行列)

例えば、

$$\begin{eqnarray*}&& \Delta_{ij}(A)= \left\vert A^{1,2,\ldots,i-1,i+1,\ldots,n}_... ...ldots,j_l} = (A^{i_1,i_2,\ldots,i_k}) (B_{j_1,j_2,\ldots,j_l})\end{eqnarray*}$$

となることに注意せよ。

また、多重数列 $b_{i_1,i_2,\ldots,i_n}$ に対して、 $1\leq i_1<i_2<\cdots<i_n\leq m$ となる $i_1,i_2,\ldots,i_n$ すべて の組合せに対する和

$$\sum_{i_1=1}^{m-n+1}\sum_{i_2=i_1+1}^{m-n+2}\cdots\sum_{i_n=i_{n-1}+1}^{m} b_{i_1,i_2,\ldots,i_n}$$

を、簡単に

$$\sum_{i_1<\cdots<i_n}b_{i_1,\ldots,i_n}$$

と書くことにする。このとき、

$$\sum_{i_1<\cdots<i_n}\sum_{k=i_s+1}^{i_{s+1}-1}b_{i_1,\ldot... ...=\sum_{i_1<\cdots<i_s<k<i_{s+1}<\cdots<i_n}b_{i_1,\ldots,i_n,k}$$ (15)

が成り立つ。簡単のため、$n=3$, $s=1$ の場合を考えれば、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\sum_{i_1<i_2<i_3}\sum_{k=i_1+1}^{i_2-1}b_{i_1,i_2,i_3... ...b_{i_1,i_2,i_3,k} \\ &=& \sum_{i_1<k<i_2<i_3}b_{i_1,i_2,i_3,k}\end{eqnarray*}$$

のようになるからである。同様に、

$$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \sum_{i_1<\cdots<... ...\sum_{i_1<\cdots<i_n<k}b_{i_1,\ldots,i_n,k} \end{array}\right.$$ (16)

も成り立つ。

この節では、以下の定理を示す。

定理 7

$m\times n$ 行列 $A$ と $n\times m$ 行列 B に対して、

$$\vert AB\vert=\left\{\begin{array}{ll} 0 & (n<m\mbox{ のと... ..._1,\ldots,i_m}\vert & (n>m\mbox{ のとき}) \end{array}\right.$$ (17)

これを、$n$ を固定して、$m$ に関する帰納法で証明する。

まず、$m=1$ のときは、$A$ は $1\times n$ 行列、$B$ は $n\times 1$ 行列なので、

$$\begin{eqnarray*}\vert AB\vert &=& \left\vert[a_{11}\cdots a_{1n}]\left[\begin... ...n a_{1i}b_{i1} \\ &=& \sum_{i=1}^n \vert A_i\vert\vert B^i\vert\end{eqnarray*}$$

となるので確かに成り立つ。 よって $(m-1)$ までは成り立つとして $m$ の場合を示す。

$C=AB$ とすると $C$ は $m\times m$ 行列なので、

$$\vert C\vert = \sum_{p=1}^m (-1)^{p+1}c_{p1}\Delta_{p1}(C) =... ...t\vert A^{1,\ldots,p-1,p+1,\ldots,m}B_{2,3\ldots,m}\right\vert$$

となるが、 $A^{1,\ldots,p-1,p+1,\ldots,m}$ は $(m-1)\times n$ 行列、 $B_{2,3\ldots,m}$ は $n\times (m-1)$ 行列なので、 この積の行列式には帰納法の仮定を適用できる。 まず $m\geq n+2$、すなわち $(m-1)>n$ の場合は

$$\left\vert A^{1,\ldots,p-1,p+1,\ldots,m}B_{2,3\ldots,m}\right\vert=0$$

となるので、よって $\vert C\vert=0$ が言える。 $m\leq n+1$ の場合は、

$$\left\vert A^{1,\ldots,p-1,p+1,\ldots,m}B_{2,3\ldots,m}\righ... ...ert \left\vert B^{i_1,\ldots,i_{m-1}}_{2,3\ldots,m}\right\vert$$

となる。ここで、 $$c_{p1}=\sum_{k=1}^n a_{pk}b_{k1}$$ より、

$$\begin{eqnarray*}\vert C\vert &=& \sum_{p=1}^m (-1)^{p+1}\sum_{k=1}^n a_{pk}b_... ...ert A^{1,\ldots,p-1,p+1,\ldots,m}_{i_1,\ldots,i_{m-1}}\right\vert\end{eqnarray*}$$

となるが、

$$\left\vert A^{1,\ldots,p-1,p+1,\ldots,m}_{i_1,\ldots,i_{m-1}... ...m-1}}\right]\right) \hspace{1zw}(\mbox{$\ast$\ は任意の 1 列})$$

と見ることもできるので、よって、

$$\sum_{p=1}^m (-1)^{p+1} a_{pk} \left\vert A^{1,\ldots,p-1,p+... ...& \end{array}\right\vert = \vert A_{k,i_1,\ldots,i_{m-1}}\vert$$

となり、

$$\vert C\vert = \sum_{i_1<\cdots<i_{m-1}} \left\vert B^{i... ...t\vert \sum_{k=1}^n b_{k1} \vert A_{k,i_1,\ldots,i_{m-1}}\vert$$ (18)

となる。 ここで、$m=n+1$ の場合は、

$$(i_1,\ldots,i_{m-1})=(i_1,\ldots,i_n)=(1,\ldots,n)$$

となるので、

$$\vert A_{k,i_1,\ldots,i_{m-1}}\vert=\vert\mbox{\boldmath$a$}... ...{1zw}(A=[\mbox{\boldmath$a$}_1\ \cdots \mbox{\boldmath$a$}_n])$$

となり、1 列目の $\mbox{\boldmath$a$}_k$ と $(k+1)$ 列目が必ず等しくなるので、 よって系 6 より すべての $k$ に対して $\vert\mbox{\boldmath$a$}_k\ A\vert=0$ となり、 よって $\vert C\vert=0$ となる。

よって、後は $1\leq m\leq n$ の場合のみ考えればよい。

上に述べたことと同様に、$k$ が $i_1,\ldots,i_{m-1}$ のいずれかと 一致すれば $\vert A_{k,i_1,\ldots,i_{m-1}}\vert=0$ となるので、よって、

$$\sum_{k=1}^n b_{k1} \vert A_{k,i_1,\ldots,i_{m-1}}\vert = ... ...{m-1}+1}^{n}\right) b_{k1} \vert A_{k,i_1,\ldots,i_{m-1}}\vert$$ (19)

となる。列の入れ換え (定理 5) を順に行なえば、

$$\vert A_{k,i_1,i_2,\ldots,i_{m-1}}\vert =-\vert A_{i_1,k,i_2... ...}}\vert =(-1)^2\vert A_{i_1,i_2,k,\ldots,i_{m-1}}\vert =\cdots$$

のようになり、よって $i_s<k<i_{s+1}$ のとき

$$\vert A_{k,i_1,i_2,\ldots,i_{m-1}}\vert =(-1)^s \vert A_{i_1,\ldots,i_s,k,i_{s+1},\ldots,i_{m-1}}\vert$$

とできるので、(18) に (19) を 代入すれば、 (15), (16)、および $\{i_i,\ldots,i_{m-1},k\}$ を $\{j_1,\ldots,j_m\}$ と書くことにより、

$$\begin{eqnarray*}\vert C\vert &=& \sum_{i_1<\cdots<i_{m-1}} \sum_{k=1}^n b_{k... ...B^{j_1,\ldots,j_{k-1},j_{k+1}\ldots,j_m}_{2,3\ldots,m}\right\vert\end{eqnarray*}$$

のようにすることができる。この、最後の行列式は、

$$\left\vert B^{j_1,\ldots,j_{k-1},j_{k+1}\ldots,j_m}_{2,3\ldo... ...eft(\left[\ast\ B^{j_1,\ldots j_m}_{2,3\ldots,m}\right]\right)$$

なので、

$$I= \left\vert\begin{array}{cc} b_{j_11} & \\ \vdots & B^{... ...j_m1} & \end{array}\right\vert = \vert B^{j_1,\ldots,j_m}\vert$$

となる。よって、結局、

$$\vert C\vert=\sum_{j_1<\cdots<j_m}\vert A_{j_1,\ldots,j_m}\vert\vert B^{j_1,\ldots,j_m}\vert$$

が得られたことになり、これで定理 7 の証明が終了する。