6 複素数乗

$\exp(x)$ の定義式 (3) の発展として、 最後に「複素数乗」を考えてみる。 (3) の定義は単に自然数乗しか使わないので、 この式の $x$ を複素数にしても問題はない。 それにより、いわゆるオイラーの公式による複素数乗が 得られるのかを考えてみる。

なお、その考察のために、まず複素数列の収束性を定義し、 複素数の極形式、ド・モアブルの公式を復習しておく。

• 複素数列 $z_n=x_n+y_n i$ ( $x_n=\mathop{\rm Re}z_n$, $y_n=\mathop{\rm Im}z_n$) が、 複素数 $\alpha=p+qi$ に収束するとは、 $$\lim_{n\rightarrow \infty}{x_n}=p$$ かつ $$\lim_{n\rightarrow \infty}{y_n}=q$$ であること と定める。
• 複素数 $z=a+bi$ ($\neq 0$) に対して、 $r=\vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}$ ($>0$)、 $\theta = \arg(z)$ (偏角) と すると、 $a = r\cos\theta$, $b = r\sin\theta$ となるので、 $z = a+bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と書ける。 この式を $z$ の極形式という。
• 加法定理を用いれば、
  

  $${(\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta)}$$

  $$= \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta + i(\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta)$$

  $$= \cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)$$ (34)

  
  
  となるので、これを繰り返し使うことでド・モアブルの公式

  $$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta) \hspace{1zw}(\mbox{$n$\ は自然数})$$ (35)

  
  が得られる。

さて、まず (3) の右辺の $x$ を $x=i\alpha$ ($\alpha$ は実数) とした式の極限を考える。 $1+i\alpha/n$ を極形式で表すと、

$$1+\frac{i\alpha}{n} = \sqrt{1+\frac{\alpha^2}{n^2}}\,(\cos\... ...), \hspace{1zw} \beta_n = \arg\left(1+\frac{i\alpha}{n}\right)$$

となる。ここで、$\beta_n$ は $-\pi/2<\beta_n<\pi/2$ と取れ、 $r\cos\beta_n = 1$, $r\sin\beta_n = \alpha/n$ より、 $\tan\beta_n = \alpha/n$ であることに注意する。 ド・モアブルの公式より、

$$f_n(i\alpha) = \left(1+\frac{i\alpha}{n}\right)^n \ = \ \left(\sqrt{1+\frac{\alpha^2}{n^2}}\right)^n (\cos\beta_n+i\sin\beta_n)^n$$

$$= \sqrt{\left(1+\frac{\alpha^2}{n^2}\right)^n} \,(\cos n\beta_n+i\sin n\beta_n)$$ (36)

となるが、先頭の根号の中身は命題 4 により、 $n\rightarrow\infty$ のときに 1 に収束する。 一方、 $\tan\beta_n = \alpha/n\rightarrow 0$ であるから $\beta_n\rightarrow 0$ であり、よく知られているように

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x} = 1$$

であるから、

$$n\beta_n = n\tan\beta_n \times\frac{\beta_n}{\tan\beta_n} =... ...an\beta_n} \rightarrow \alpha \hspace{1zw}(n\rightarrow\infty)$$

となることがわかる。よって、$f_n(i\alpha)$ の極限は、

$$\lim_{n\rightarrow \infty}{f_n(i\alpha)} = \lim_{n\rightar... ...}{\left(1+\frac{i\alpha}{n}\right)^n} = \cos\alpha+i\sin\alpha$$ (37)

となるから、これにより $\exp(x)$ を (3) によって 複素数に拡張すると、

$$\exp(i\alpha) = \cos\alpha+i\sin\alpha$$ (38)

が成り立つことになる。これは、いわゆるオイラーの公式 「 $e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha$」に対応する。

さらに $x$ を一般の複素数 $z=x+iy$ ($x,y$ は実数) とすると、

$$1+\frac{x+iy}{n} = \sqrt{\left(1+\frac{x}{n}\right)^2+\frac... ...ce{1zw} \gamma_n = \arg\left(1+\frac{x}{n}+\frac{yi}{n}\right)$$

となり、$n>\vert x\vert$ である $n$ を考えれば $1+x/n>0$ なので、

$$-\frac{\pi}{2}<\gamma_n<\frac{\pi}{2}, \hspace{1zw} \tan\gam... ...= \frac{y}{n+x} \rightarrow 0 \hspace{1zw}(n\rightarrow\infty)$$

より、 $$\lim_{n\rightarrow \infty}{\gamma_n}=0$$ で

$$n\gamma_n = n\tan\gamma_n\times\frac{\gamma_n}{\tan\gamma_n... ...}{\tan\gamma_n} \rightarrow y \hspace{1zw}(n\rightarrow\infty)$$

となることがわかる。 一方、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \left\{\left(1+\frac{x}{n}\right)^2+\frac{y^2}{n^2}\... ...\frac{2x}{n}\right)^{n}\left(1+\frac{x^2+y^2}{n^2+2nx}\right)^{n}\end{eqnarray*}$$

であり、これは命題 4 により、 $n\rightarrow\infty$ のときに $\exp(2x)\times 1$ に収束する。 よって、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\lim_{n\rightarrow \infty}{\left(1+\frac{x+iy}{n}\righ... ... \sqrt{\exp(2x)}\,(\cos y+i\sin y) \ =\ \exp(x)(\cos y+i\sin y)\end{eqnarray*}$$

となることが (24) からわかる。これは、

$$\exp(z)=\exp(x+iy)=\exp(x)(\cos y+i\sin y)$$ (39)

を意味し、これも通常の $e$ の複素数乗の式に対応する。

そして、(39) を用いれば、複素数に対する指数法則

$$\exp(z)\exp(w) = \exp(z+w), \hspace{1zw}\frac{\exp(z)}{\exp(w)} = \exp(z-w), \hspace{1zw}\exp(z)^n = \exp(nz)$$ (40)

($n$ は自然数) も容易に示される。