6 空間遠方に減衰している場合の減衰評価

この節では、問題 1 の空間遠方に減衰している解 $u$ の 時間方向の減衰を考える。

この場合は、 $u_0(x)=u(0,x)$ が遠方で十分速く 0 に減衰しているという仮定の元で $u(t,x)$ も 0 に減衰することが示される。 しかし、問題 2 の場合とは減衰する速さは異なる。 まずは簡単のため、$f(u)=u^2/2$ (いわゆる Burgers 方程式) とし、 $u_0\in L^2(R)$ として考えてみる。

この場合は、

$$u_t+uu_x=\varepsilon u_{xx}$$

なので、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\frac{d}{dt}\int_R u(t,x)^2 dx = \int_R 2u u_tdx = ... ... %\ &=& = -\int_R 2\varepsilon u_x^2 dx %\leq \ &\leq & 0\end{eqnarray*}$$

となり、よって $u(t,x)$ の $x$ に関する $L^2$ の評価

$$\int_R u(t,x)^2 dx \leq \int_R u(0,x)^2 dx = \Vert u_0\Vert _{L^2}^2 <\infty$$ (21)

が得られる。 5 節と同様に $v_{+}$, $v_{-}$ を用いれば

$$\int_R u^2u_x dx =\int_R\left(\frac{u^3}{3}\right)_x dx = 0$$

より

$$\int_R u^2 v_{+} dx = \int_R u^2 v_{-} dx, \hspace{1zw} \int_R u^2\vert u_x\vert dx =2\int_R u^2 v_{+} dx$$ (22)

となるので、 (21), (22), および定理 2 により、

$$\begin{eqnarray*}\vert u(t,x)^3\vert &=& \vert u(t,x)^3-u(t,-\infty)^3\vert \... ... t}\int_R u^2 dx \leq \frac{6}{\delta t}\Vert u_0\Vert _{L^2}^2\end{eqnarray*}$$

が得られる。ここから、$u$ の $t^{-1/3}$ の評価

$$\vert u(t,x)\vert\leq C_2 t^{-1/3} \hspace{1zw} \left(C... ...\frac{6}{\delta}\right)^{1/3}\Vert u_0\Vert _{L^2}^{2/3}\right)$$ (23)

が得られる。

これと同じことを、一般の $f$ で、$u_0\in L^p(R)$ ($p>1$) の場合で考えてみよう。 まず、次に注意する。

$$(\vert x\vert^q)'=q\vert x\vert^{q-2}x,\hspace{1zw} (\vert x\vert^{q-1}x)'=q\vert x\vert^{q-1} \hspace{1zw}(q>1)$$ (24)

これらは、

$$(\vert x\vert)'=\frac{x}{\vert x\vert}\hspace{1zw}(x\neq 0)$$

より、

$$\begin{eqnarray*}(\vert x\vert^q)' &=& q\vert x\vert^{q-1}(\vert x\vert)' = q... ...-1)\vert x\vert^{q-1}+\vert x\vert^{q-1} = q\vert x\vert^{q-1}\end{eqnarray*}$$

として得られる。

$\vert u\vert$ の $p$ 乗の積分を $t$ で微分すると、(24) より

$${\frac{d}{dt}\int_R \vert u\vert^pdx = \int_R p\vert u\vert^{p-2}uu_t dx}$$

$$= -\int_R p\vert u\vert^{p-2}uf'(u)u_x dx +\int_R\varepsilon p\vert u\vert^{p-2}uu_{xx}dx$$ (25)

となるが、今

$$F(w)=\int_0^wp\vert u\vert^{p-2}uf'(u)du$$ (26)

とすれば、$p>1$ より $F$ は $C^1$ 級で、よって

$$\int_R p\vert u\vert^{p-2}uf'(u)u_x dx =\int_R F'(u)u_x dx =\int_R F(u)_x dx =0$$ (27)

となる。また、(24) より、

$$\varepsilon p\vert u\vert^{p-2}uu_{xx} = \varepsilon p\left(\vert u\vert^{p-2}uu_x\right)_x -\varepsilon p\left(\vert u\vert^{p-2}u\right)_xu_x$$

$$= \varepsilon p\left(\vert u\vert^{p-2}uu_x\right)_x -\varepsilon p... ...{p-2}u_x^2 %\ &\leq & \leq \varepsilon p\left(\vert u\vert^{p-2}uu_x\right)_x$$ (28)

となるので、

$$\int_R \varepsilon p\vert u\vert^{p-2}uu_{xx}dx \leq \int_R \varepsilon p\left(\vert u\vert^{p-2}uu_x\right)_x dx =0$$ (29)

となる。結局 (25), (27), (29) より

$$\frac{d}{dt}\int_R \vert u\vert^pdx\leq 0$$

が得られるから、$\vert u\vert$ の $p$ 乗積分は、

$$\int_R \vert u(t,x)\vert^p dx\leq \int_R \vert u(0,x)\vert^p dx = \Vert u_0\Vert _{L^p}^p$$ (30)

と評価される。これは $p=2$ の場合の (21) に対応する。

そして、(24) より、

$$\vert u(t,x)\vert^{p+1} = \left\vert\vert u\vert^p u\right\vert = \left\vert(\vert u\vert^p u)(t,x)-(\vert u\vert^p u)(t,-\infty)\right\vert$$

$$\leq \int_R\left\vert\left(\vert u\vert^p u\right)_x\right\vert dx = \int_R(p+1)\vert u\vert^p\vert u_x\vert dx$$ (31)

となるが、$p>1$ に対して (24) より、

$$\int_R\vert u\vert^pu_x dx =\int_R\frac{1}{p+1}(\vert u\vert^p u)_u u_xdx =\int_R\frac{1}{p+1}(\vert u\vert^p u)_x dx =0$$

なので、$p=2$ の場合と同様にして

$$\int_R \vert u\vert^p v_{+} dx = \int_R \vert u\vert^p v_{-... ...t u\vert^p\vert u_x\vert dx =2\int_R \vert u\vert^p v_{+} dx$$

となり、よって (30) と定理 2 より、

$$\int_R\vert u\vert^p\vert u_x\vert dx = 2\int_R\vert u\vert^... ...ert u\vert^p dx \leq \frac{2}{\delta t}\Vert u_0\Vert _{L^p}^p$$

と評価できる。よって、() より

$$\vert u(t,x)\vert^{p+1} \leq \frac{2}{\delta t}(p+1)\Vert u_0\Vert _{L^p}^p$$

となり、結局 $u$ の $t^{-1/(p+1)}$ の評価

$$\vert u(t,x)\vert\leq C_p t^{-1/(p+1)} \hspace{1zw}\left... ...ta t}\right\}^{1/(p+1)} \Vert u_0\Vert _{L^p}^{p/(p+1)}\right)$$ (32)

が得られる。

また、特に $u_0(x)=u(0,x)$ がコンパクト台を持つ関数の場合は、 すべての $p>1$ に対し $u_0\in L^p(R)$ となるので、 (32) で $p\rightarrow 1+0$ とすれば、

$$C_p\rightarrow \sqrt{\frac{4}{\delta}\Vert u_0\Vert _{L^1}}=C_1$$

となり、$u$ の $t^{-1/2}$ の評価

$$\vert u(t,x)\vert\leq C_1 t^{-1/2}$$

が得られる。

定理 4

問題 1 の場合、 $u(0,x)\in L^p(R)$ ($p>1$) のときは、 (2) の解 $u$ は $\varepsilon$ に一様に 次の減衰評価を満たす。

$$\vert u(t,x)\vert\leq C_p t^{-1/(p+1)}$$ (33)

さらに $u(0,x)$ がコンパクト台を持つ場合は

$$\vert u(t,x)\vert\leq C_1 t^{-1/2}$$ (34)

が成り立つ ($C_p$ は $p$, $\delta$, $\Vert u_0\Vert _{L^p}$ による定数)。

初期値がコンパクト台を持つ場合の $t^{-1/2}$ という評価は、 コンパクトな台を持つ $N$ 型波の漸近挙動に対応し、 よって $t^{-1/2}$ より強い評価を期待することはできない (詳細は、例えば [1] 参照)。

なお、$t^{-1/2}$ の評価を得るために (25) を直接 $p=1$ としようとすると、

$$\frac{d}{dt}\vert u\vert=\frac{u}{\vert u\vert}u_t$$

は $u\neq 0$ でしか成り立たないため、$u=0$ での例外的な議論が入って難しくなる。 さらに (26) の $F$ も $C^1$ ではなくなるし、 (28) も $p=1$ ではそのままは成立しない。 つまり $p=1$ では上のような議論が直接は使えないので、 ここでは $p\rightarrow 1+0$ として考えた。 しかし $p=1$ でも似たような考察が行えないわけではない。 それについては付録として 8 節に記すこととする。

また、この節では、$G(0)=0$ なる $C^1$ 級の関数 $G(u)$ に対して、

$$\int_R G(u)_x dx=0$$

なる論法を何回か用いた。 これが成り立つためには、もちろん $u(t,x)$ にそれなりの速さでの $x$ の遠方での減衰性や微分の可積分性などが必要になる (詳しくは [3] 参照) が、 我々の問題では元々考えている $u$ は (1) に対する近似解なので、 必要ならば初期値も $x$ の遠方では十分早く減衰するもので近似しておくことができ、 それほど問題とはならない (多分)。