5 計算例

本節では漸化式 (15) や、 前節の (21), (22)、すなわち

  $$T[y^{2m}] = \frac{y}{2m+1}\left(y^{2m}-\frac{1}{2^{2m}}\right), \hspace{1zw} T[y^{2m-1}] = \frac{1}{2m}\left(y^{2m}-\frac{1}{2^{2m}}\right)$$ (23)

などを用いて、いくつかの $\phi_n(x)$ の計算を紹介する。 公式集や数式処理ソフトでも簡単に得られるかもしれないが、 ここでは少し地道な計算を示し、多項式としての形や $\phi_1$, $\phi_2$ の 因数を出した形、および [T1],[T2] の形がどうなるかを紹介する。

なお、$n$ が奇数か偶数かで計算のしやすさに違いがあることに注意する。 例えば $n$ が奇数の場合は、[T2'] より

$$\phi_{n-1}(x) = \phi_2(x)G_m(\phi_1(x))\hspace{1zw}\left(m=\frac{n-1}{2}\right)$$

となるが、

$$\phi_2(x) = \frac{2x+1}{3}\phi_1(x) = \frac{2}{3}\phi_1'(x)\phi_1(x)$$

なので、多項式 $H_m(X)$ を

  $$H_m(X) = \int_0^X YG_m(Y)dY$$ (24)

とすれば、$\phi_{n-1}(x)$ の積分は置換積分により、

$$\begin{eqnarray*}\int_0^x\phi_{n-1}(t)dt &=& \int_0^x \frac{2}{3}\phi_1(t)G_m(\... ...{3}\{H_m(\phi_1(x))-H_m(0)\} \ =\ \frac{2}{3}H(\phi_1(x)) \\ &&\end{eqnarray*}$$

となり、よって

$$\phi_n(x) = n\left(\int_0^x\phi_{n-1}(t)dt+x\int_0^{-1}\phi_{n-1}(t)dt\right)$$

$$= \frac{2n}{3}\{H_m(\phi_1(x))+xH_m(\phi_1(-1))\} \ =\ \frac{2n}{3}\{H_m(\phi_1(x))+xH_m(0)\}$$

$$= \frac{2n}{3}H_m(\phi_1(x))$$ (25)

となる。 つまり、$n$ が奇数の場合、$\phi_{n-1}(x)$ の [T2'] の形が得られていれば、 そこから $\phi_n$ の [T1'] の形を得るのは難しくはなく、 ほぼ (24) の計算だけで済むし、 また、上の計算からもわかるが、 直接 (15) を使って計算しても、 $n$ が奇数の場合は後ろの定積分の項は 0 となるため、

$$\phi_n(x) = n\int_0^x\phi_{n-1}(t)dt$$

となって、計算量はだいぶ小さくなる。

一方、$n$ が偶数の場合は [T1'] の形から [T2'] を求めるのは それほど易しくはない。(23) を使えば 一応計算できるのであるが、 $y$ の多項式への変形や、 逆に $y$ の式から $\phi_1(x)$ の式への展開などが入り、 $n$ が奇数の場合よりも計算量が多くなる。 この場合はむしろ多項式として直接 (15) を使って計算し、 それを因数分解して [T2'] の形を作った方が、$n$ が大きい場合には 早いかもしれない。

それでは、順に $\phi_n(x)$ ($n\geq 1$) を計算する。 $\phi_0(x)=x$ なので、定数 $C$ に対して

$$T[C] = \int_0^x Cdt + x\int_0^{-1}Cdt = Cx+x(-C) = 0$$

に注意すると、(23) を使えば

$$\begin{eqnarray*}T[\phi_0] &=& T[x] \ =\ T\left[x+\frac{1}{2}\right] \ =\ ... ...frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right\} \ =\ \frac{1}{2}(x^2+x) \end{eqnarray*}$$

となるが、これは直接 (19) から

$$T[x] = \int_0^x tdt + x\int_0^{-1} t dt = \frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}$$

とする方が早いだろう。いずれにせよ、結局、

$$\phi_1(x) = T[\phi_0] = \frac{x}{2}(x+1)$$

となる。

$\phi_2(x)$ は、(23) を使えば、

$$\begin{eqnarray*}\phi_2(x) &=& 2T[\phi_1(x)] \ =\ T[x^2+x] \ =\ T\left... ...ght) \ = \ \frac{2x+1}{6}(x^2+x) \ = \ \frac{x}{6}(x+1)(2x+1)\end{eqnarray*}$$

が得られるが、これは直接 (19) から計算すれば、

$$\int_0^x\phi_1(t)dt = \int_0^x\left(\frac{t^2}{2}+\frac{t}{2}\right)dt = \frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{4}$$

より、

$$\begin{eqnarray*}\phi_2(x) &=& \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2} + x\left(\frac{(-1)... ...6} \ = \ \frac{2x^3+3x^2+x}{6} \\ &=& \frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\end{eqnarray*}$$

のようになる。

次は $\phi_3(x)$ であるが、(25) を使うと、 この場合は $G_1(X)=1$ なので、 $H_1(X) = X^2/2$ となり、よって

$$\phi_3(x) = \frac{2}{3}\cdot 3\cdot\frac{1}{2}\phi_1(x)^2 = \phi_1(x)^2 = \frac{x^2}{4}(x+1)^2 = \frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{4}$$

となる。

$\phi_4(x)$ は、(23) で計算すると、 $y^2=x^2+x+1/4=2\phi_1(x)+1/4$ より、

$$\begin{eqnarray*}\phi_4(x) &=& 4T[\phi_3(x)] \ =\ T[(x^2+x)^2] \ =\ T\l... ...+1)-\frac{\phi_2(x)}{2} \ =\ \frac{\phi_2(x)}{5}(6\phi_1(x)-1)\end{eqnarray*}$$

となるので、これを展開すれば、

$$\begin{eqnarray*}\phi_4(x) &=& \frac{x(x+1)(2x+1)}{30}\times(3x^2+3x-1) \\ &... ...) \\ &=& \frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x}{30}\end{eqnarray*}$$

となる。 一方、$\phi_4(x)$ を直接 (15) から計算すれば、

$$\begin{eqnarray*}4\int_0^x\phi_3(t)dt &=& \int_0^t(t^4+2t^3+t^2)dt \ = \ \fr... ...1}{2}-\frac{1}{3} \ =\ \frac{-6+15-10}{30} \ =\ -\frac{1}{30}\end{eqnarray*}$$

より、

$$\begin{eqnarray*}\phi_4(x) &=& 4\int_0^x\phi_3(t)dt + 4x\int_0^{-1}\phi_3(t)d... ...c{x^3}{3}-\frac{x}{30} \\ &=& \frac{x}{30}(6x^4+15x^3 +10x^2-1)\end{eqnarray*}$$

となる。 [T2] より $6x^4+15x^3 +10x^2-1$ は $(x+1)(2x+1)$ で割り切れるので、 実際に割り算を実行すれば、組み立て除法なら 3 行位の計算で済み、

$$\begin{eqnarray*}6x^4+15x^3 +10x^2-1 &=& (x+1)(6x^3+9x^2+x-1) \\ &=& (x+1)(2x+1)(3x^2+3x-1)\end{eqnarray*}$$

のようになり、 $3x^2+3x-1=3(x^2+x)-1=6\phi_1(x)-1$ より、 前と同じものが得られることがわかる。

$\phi_5(x)$ は、 $G_2(X) = (6X-1)/5$ なので

  $$H_2(X) = \int_0^X \left(\frac{6Y^2}{5}-\frac{Y}{5}\right)dY = \frac{2X^3}{5}-\frac{X^2}{10}$$ (26)

となるから、(25) より、

$$\begin{eqnarray*}\phi_5(x) &=& \frac{10}{3}H_2(\phi_1(x)) \ =\ \frac{\phi... ...\ &=& \frac{x^6}{6}+\frac{x^5}{2}+\frac{5x^4}{12}-\frac{x^2}{12}\end{eqnarray*}$$

となる。ちなみに、この最後の式が正しいことは、 (13) を用いて微分で確認することもできる。

以下、計算結果のみを示す。紹介するのは、 ファウルハーバーの定理の形の式 ([T1'], [T2'])、 因数分解の形、および展開した式の 3 つの形である。 なお、因数分解式は、[T1'], [T2'] の形の $\phi_1$, $\phi_2$ の 因数だけの因数分解式を紹介するが、 $F_n(\phi_1)$, $G_n(\phi_1)$ の部分が さらに有理数係数の範囲で因数分解できるかもしれないが、 それは確認していない。 また、手計算での計算例なので、 計算間違いなどが含まれる可能性もある。

$$\begin{eqnarray*}\phi_6(x) &=& \frac{\phi_2}{7}(12\phi_1^2-6\phi_1+1) \\ &=&... ...6}{20} \\ &&\mbox{}+\frac{5\cdot 13x^4}{12} -\frac{691x^2}{420}\end{eqnarray*}$$

ここまでの式を見ると、これらの式にはさらに次の性質があることがわかる。

• [T3'] $\phi_n(x)$ を展開すると、次数の高い最初の 2 項は 以下のようになる:
  
  $$\phi_n(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}+\frac{x^n}{2}+\cdots$$
  
  

• [T4'] $\phi_n(x) - x^n/2$ は、$n$ が偶数なら奇関数、 $n$ が奇数なら偶関数になる
• [T5'] $n$ が 3 以上の奇数の場合、 $\phi_n(x)$ は $\phi_1(x)^2$ でも割り切れる

いずれも、それらが正しいことも容易に証明できる (証明は省略)。

なお、$G_m$ から $H_m$ を計算する (24) と (25)、および [T1'] より、 $x$, $y$ を介さずに $G_n$ から 直接 $F_{n+1}$ を求める式

  $$XF_{n+1}(X) = \frac{2(2n+1)}{3}H_n(X) = \frac{2(2n+1)}{3}\int_0^X YG_n(Y)dY$$ (27)

が得られる。 逆に $F_n$ から $G_n$ を直接求める式を作ることもできなくはないが、 その計算は、以下に示すようにあまり易しくはない。 $\hat{F}_n(X)=XF_n(X)$ とすると、

$$\phi_{2n}(x) = 2nT\left[\phi_{2n-1}\right] = 2nT\left[\hat{F}_n(\phi_1)\right]$$

であり、よってこの式を微分すると

  $$\phi_{2n}'(x) = 2n\{\hat{F}_n(\phi_1(x)) + C_{2n}\}$$ (28)

となる。一方、 $\hat{G}_n(X)=XG_n(X)$ として、

$$\phi_{2n}(x) = \phi_2(x)G_n(\phi_1(x)) = \frac{2x+1}{3}\phi_1(x)G_n(\phi_1(x)) = \frac{2x+1}{3}\hat{G}_n(\phi_1(x))$$

を微分すると、

$$\phi_{2n}'(x) = \frac{2}{3}\hat{G}_n(\phi_1(x)) + \frac{2x+1}{3}\hat{G}_n'(\phi_1(x)) \phi_1'(x)$$

$$= \frac{2}{3}\hat{G}_n(\phi_1(x)) + \frac{(2x+1)^2}{6}\hat{G}_n'(\phi_1(x))$$

$$= \frac{2}{3}\hat{G}_n(\phi_1(x)) + \frac{8\phi_1(x)+1}{6}\hat{G}_n'(\phi_1(x))$$ (29)

となるので、(28), (29) より、 $\hat{G}_n(X)$ を求める微分方程式

  $$4\hat{G}_n(X) + (8X+1)\hat{G}_n'(X) = 12n\{\hat{F}_n(X) + C_{2n}\}$$ (30)

が得られる。この左辺を $\sqrt{8X+1}$ で割れば、

$$\frac{4}{\sqrt{8X+1}}\hat{G}_n(X) + \sqrt{8X+1}\,\hat{G}_n'(X) =\frac{d}{dX}\left(\sqrt{8X+1}\,\hat{G}_n(X)\right)$$

となるので、 $\hat{G}_n(0)=0$ より、

$$\sqrt{8X+1}\,\hat{G}_n(X) = \int_0^X\frac{12n}{\sqrt{8Y+1}} (\hat{F}_n(Y)+C_{2n})dY$$

が得られ、よって $F_n$ から $G_n$ を計算する公式

  $$XG_n(X) = \frac{1}{\sqrt{8X+1}} \int_0^X\frac{12n}{\sqrt{8Y+1}} (YF_n(Y)+C_{2n})dY$$ (31)

が得られる。 左辺は $X$ の多項式であるから、 定数 $C_{2n}$ は、右辺の積分で平方根の式 $\sqrt{8X+1}$ が 残らないように選べばよい。

例えば、$F_2(X)=X$ から (31) を用いて $G_2(X)\ (=(6X-1)/5)$ を計算してみる。

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{XG_2(X) \ =\ \frac{1}{\sqrt{8X+1}} \int_0^X\frac{... ...X+1)^2}{20} -\frac{1}{\sqrt{8X+1}}\left(6C_4+\frac{1}{20}\right)\end{eqnarray*}$$

となるので、平方根の項を消すためには、$C_4=-1/120$ となり、 そのとき、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{XG_2(X) \ =\ 6X^2-\frac{1}{20}-8X^2-X + \frac{16}{... ... \\ &=& \frac{6}{5}X^2 - \frac{1}{5}X \ =\ \frac{X}{5}(6X-1)\end{eqnarray*}$$

となって $G_2(X) = (6X-1)/5$ が得られるが、 計算は $H_2$ の計算 (26) に比べればかなり面倒で、 これで $\phi_{2n}$ を計算をするのはあまり実用的ではない。