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3 有限部分の引き算

$W(x)$ の式のうち、

$$\int_0^\infty\frac{\cos xy}{y^2+y+1}dy,\ \ \int_0^\infty\frac{\cos xy}{y^2-y+1}dy$$

などは (0 次式)/(2 次式) なのでちゃんと収束しますので、 これをまず分けます。

$$\begin{eqnarray*} W(x) & = & I(x) + J(x),\\ I(x) & = & \int_0^\infty\frac{\co... ...ft( -\frac{y\cos xy}{y^2+y+1}+\frac{y\cos xy}{y^2-y+1}\right)dy \end{eqnarray*}$$

$W(x)$, $I(x)$ は有限なので、$J(x)$ も一応有限ですが、 これは 2 つに分けるのは危険です。

$I(x)$ は、

$$I(x)= \int_0^\infty\left(\frac{\cos xy}{y^2+y+1}+\frac{\cos xy}{y^2-y+1}\right) dy$$

と一つにしてみると分かりますが、被積分関数は偶関数なので

$$I(x)= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{\cos xy}{y^2+y+1}+\frac{\cos xy}{y^2-y+1}\right)dy$$

とでき、よって

$$I(x)= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos xy}{y^2+y+1}dy +\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos xy}{y^2-y+1}dy$$

となります (この計算はすべて有限の範囲なので問題はありません)。

分母をそれぞれ $y^2+y+1=(y+1/2)^2+3/4$, $y^2-y+1=(y-1/2)^2+3/4$ と標準変形し、$y+1/2$, $y-1/2$ を $u$ と置換積分すると (このために $-\infty$ から $\infty$ の積分に変えてあります)

$$\begin{eqnarray*} I(x) & = & \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x(u-1/2... ... \frac{2\pi}{\sqrt{3}}e^{-\vert x\vert\sqrt{3}/2}\cos\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$$

となります。最後の式には公式 (2) を使いました。

後は残りの $J(x)$ の計算です。