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1 はじめに

広義積分

$$Z(t)=2\pi\int_0^\infty\frac{\cos\omega t}{(\omega^2+\gamma^2)\omega^2+\gamma^4} d\omega$$ (1)

について考えてみます。分母は $\omega$ の 4 次式で因数分解して考えると 公式 (cf.[1])

$$\int_0^\infty\frac{\cos ax}{x^2+1}dx = \frac{\pi}{2}e^{-\vert a\vert}$$ (2)

が使えるのではないかと予想されるのですが、以下に述べるやや微妙な事情があり 注意が必要です。

• 広義積分は発散して無限大になることもあるので、簡単に和や差を行うことが できず、常に個々の積分が有限であるかどうかを確認し、 例えば $\infty-\infty=3$ のような式にならないように注意する必要がある
• 公式 (2) は数学辞典 [1] に載っているし、
  

  $$\int_0^\infty\frac{x\sin ax}{x^2+1}dx = \frac{\pi}{2}e^{-\vert a\vert}$$ (3)

  
  
  という公式は載っているものの
  

  $$\int_0^\infty\frac{\sin ax}{x^2+1}dx$$ (4)

  
  
  に関する公式は載っていない

公式 (2),(3) はいずれも複素関数の留数計算などから 導かれるのですが、(4) はそれにはうまく載らない形で、 きれいな式で表すことはできない (あるいは知られていない) のではないかと 思われます。よってこの式が出てきたら、少なくとも私の手元の数学辞典 [1] よりもう少し詳しい公式集が必要かもしれませんし、 もしかしたら簡単な式で表すのは無理なのかも知れません。