3 積分の変換

$x=1$ での反転 $x=1/y$ によって、$f_0(x)$ は

  $$f_0\left(\frac{1}{y}\right) = y\log\left\vert\frac{1+1/y}{1-1/y}\right\vert = y\log\left\vert\frac{y+1}{y-1}\right\vert = y^2f_0(y)$$ (3)

となるので、この置換により積分 $I_1=\int_0^1f_0(x)dx$ は、

$$I_1 = \int_0^1f_0(x)dx = \int_1^\infty f_0\left(\frac{1}{y}\right)\frac{1}{y^2}\,dy = \int_1^\infty f_0(y)dy$$

が成立する。 よって、

$$I_0 = \int_0^\infty f_0(x)dx = \int_0^1 f_0(x)dx + \int_1^\infty f_0(x)dx = 2I_1$$

となり、$(0,1)$ 乗の積分値 $I_1$ のみを考えればよいことになる。

$I_1$ の値も容易には求まらないが、部分積分すると、

	$$I_1$$	$=$	$$\int_0^1 (\log x)'\log\frac{1+x}{1-x}\,dx$$
		$=$	$$\left[\log x\log\frac{1+x}{1-x}\right]_0^1 -\int_0^1 (\log x)\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right)dx$$	(4)

となる。

$x\rightarrow 1-0$ では、

$$\log x = O(x-1),\hspace{1zw}\log\frac{1+x}{1-x} = \log2-\log(1-x)+o(1)$$

$x\rightarrow +0$ では、

$$\log\frac{1+x}{1-x} = \log\left(1+\frac{2x}{1-x}\right) = O(x)$$

なので、いずれの極限でも

  $$\log x\log\frac{1+x}{1-x} \rightarrow 0$$ (5)

が成り立つことがわかる。よって、$f_1(x)$ を

  $$f_1(x) = -\,\frac{2}{1-x^2}\log\vert x\vert = \frac{2}{x^2-1}\log\vert x\vert$$ (6)

とすると、 (4),(5) より

  $$I_1 = \int_0^1f_1(x)dx$$ (7)

となる。 この $f_1(x)$ は、偶関数で、$x>0$ では正であり、

$$\lim_{x\rightarrow 1}{f_1(x)} =\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2\log x}{x^2-1} =\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2}{x\cdot 2x} =1$$

より $x=1$ では $f_1(1)=1$ とすれば連続となり、 $f_1(+0)=\infty$、$f_1(\infty)=0$ となるが、 $x=0$ 付近、$x=\infty$ 付近でも可積分となることは容易にわかる。

さらに、$x=1/y$ の反転で、

$$f_1\left(\frac{1}{y}\right) = -\,\frac{2}{1-1/y^2}\log\left\vert\frac{1}{y}\right\vert = \frac{2y^2}{y^2-1}\log\vert y\vert = y^2f_1(y)$$

となり、$f_0$ の (3) と同じ性質を持つので、 $f_1$ に対しても

$$I_1 = \int_0^1f_1(x)dx = \int_1^\infty f_1(y)dy,\hspace{1zw}I_0 = 2I_1 = \int_0^\infty f_1(x)dx$$

が成立する。

さらにもう一つ別な置換も紹介する。 $(0,1)$ での $f_0(x)$ の積分で $(1+x)/(1-x)=t$ と置換すると $x=(t-1)/(t+1)$, $dx=2dt/(1+t)^2$ となり、 $x=+0,1-0$ は $t=1+0,\infty$ に対応し、

  $$f_0(x) = \frac{1}{x}\log\frac{1+x}{1-x} = \frac{t+1}{t-1}\log t = \frac{(t+1)^2}{2} f_1(t)$$ (8)

となるので、

  $$I_1 = \int_0^1f_0(x)dx = \int_1^\infty\frac{(t+1)^2}{2} f_1(t)\frac{2dt}{(1+t)^2} = \int_1^\infty f_1(t)dt$$ (9)

となる。 つまり、この置換でも部分積分と同じ結果 (7) が得られる。