2 被積分関数の性質

本稿では、(1) の被積分関数を $f_0(x)$ とする。

  $$f_0(x) = \frac{1}{x}\log\left\vert\frac{x+1}{x-1}\right\vert$$ (2)

これは、$x=-1,0,1$ 以外で定義される関数だが、ロピタルの定理により

$$\lim_{x\rightarrow 0}{f_0(x)} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log(1... ...1-x)}{x} =\lim_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right)} =2$$

となるので、$f_0(0)=2$ と定義すれば、$x=0$ でも連続になる。 また、

$$f_0(-x) = -\frac{1}{x}\log\left\vert\frac{-x+1}{-x-1}\right\vert = \frac{1}{x}\log\left\vert\frac{x+1}{x-1}\right\vert = f_0(x)$$

より $f_0(x)$ は偶関数なので、 主な性質に関しては $x>0$ のみを考えればよい。

$0<x<1$ では

$$\frac{x+1}{1-x} = -1 + \frac{2}{1-x} > 1$$

$x>1$ では

$$\frac{x+1}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1} > 1$$

なので、 $x>0$ では $f_0(x)>0$ となる。

また、 $x\rightarrow 1$ では、

$$f_0(x) = \frac{1}{x}\log\left\vert\frac{x+1}{x-1}\right\vert \rightarrow \infty$$

となり、 $x\rightarrow\infty$ では、

$$f_0(x) = \frac{1}{x}\log\frac{x+1}{x-1} = \frac{1}{x}\log\frac{1+1/x}{1-1/x} \rightarrow 0\times \log 1 = 0$$

となる。 つまり、(1) の $I_0$ は、 $x=1$ と $x=\infty$ の 2 箇所に関して広義積分になっていることがわかる。

ただしそのオーダーを考えると、 $x\rightarrow 1$ に関しては、

$$f_0(x) = \frac{1}{x}\left(\log(x+1)-\log\vert x-1\vert\right) =\log 2 + o(1) - (1+o(1))\log\vert x-1\vert$$

なので、$x=1$ の付近では可積分、 $x\rightarrow\infty$ に関しては、

$$f_0(x) = \frac{1}{x}\log\frac{x+1}{x-1} = \frac{1}{x}\log\left(1+\frac{2}{x-1}\right) = \frac{1}{x}\,\frac{2}{x-1}(1+o(1))$$

なので、$x=\infty$ 付近でも可積分となり、 よって (1) は有限な値に収束することがわかる。