6 具体例

本節では具体例として、軸対称物体である、球面の一部、 および球の一部の 2 つのパターンの 3 種類の図形について 計算を行う (図 1 は中心に近い方から表面を見上げた図)。

図 1: 考察する図形 (a),(b),(c)

地球で言えば、(a) は $\pi/2-\alpha$ よりも高緯度の地域の地球表面部分、 (b) は地球内部も入れた $\pi/2-\alpha$ より高緯度の部分、 (c) は、(b) と地球中心を結ぶ領域の円錐も追加した部分、ということになる。 なお、簡単のため密度はいずれも一定であるとし、球の半径は $R$ とする。

まず、(a) は、対称軸を $x$ 軸と見れば、円弧の一部である $h=h_a(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ ( $R\cos\alpha\leq x\leq R$) の $x$ 軸回りの 回転面なので、重心の $x$ 座標 $g_a$ は (11) より

$$g_a = \frac{\displaystyle \int_{R\cos\alpha}^R xh_a\sqrt{... ...% {\displaystyle \int_{R\cos\alpha}^R h_a\sqrt{1+(h_a')^2} dx}$$ (18)

となるが、 $h_a'=-x/\sqrt{R^2-x^2}$ なので、

$$h_a\sqrt{1+(h_a')^2} = \sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}} = \sqrt{R^2-x^2+x^2} = R$$ (19)

となるので、

$$\begin{eqnarray*}\int_{R\cos\alpha}^R h_a\sqrt{1+(h_a')^2} dx &=& \int_{R\cos... ... \int_{R\cos\alpha}^R xRdx =\ \frac{R^3}{2}(1-\cos^2\alpha)\end{eqnarray*}$$

より、

$$g_a = \frac{R^3(1-\cos^2\alpha)/2}{R^2(1-\cos\alpha)} = \frac{R}{2}(1+\cos\alpha)$$ (20)

となる。

次は (b) であるが、これも同じ $h=h_a(x)$ の下の図形の回転体なので、 (14) よりその重心の $x$ 座標 $g_b$ は、

$$g_b = \frac{\displaystyle \int_{R\cos\alpha}^R xh_a^2 dx}% {\displaystyle \int_{R\cos\alpha}^R h_a^2 dx}$$ (21)

となるが、

$$\begin{eqnarray*}\int_{R\cos\alpha}^R h_a^2 dx &=& \int_{R\cos\alpha}^R (R^2-... ...2\alpha + \cos^4\alpha) =\ \frac{R^4}{4}(1 - \cos^2\alpha)^2\end{eqnarray*}$$

より、$g_b$ は、

$$g_b = \frac{R^4(1 - \cos^2\alpha)^2/4}{R^3(1 - \cos\alp... ...pha)/3} = \frac{3R}{4} \frac{(1+\cos\alpha)^2}{2+\cos\alpha}$$ (22)

となる。

最後に (c) であるが、この計算は 2 通り考えられ、 一つは、一般的な公式 (9) に戻って、 その 3 重積分を 3 次元極座標変換して計算する方法である。 対称軸を $z$ 軸と見れば、(c) の積分領域は、

$$\begin{array}{l} (x,y,z) = (r\cos\phi\cos\theta, r\sin\ph... ...c{\pi}{2}-\alpha\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\right) \end{array}$$ (23)

となるからその積分は難しくない。

もう一つは、(c) を (b) と円錐に分離して考える方法であり、 それぞれの重心を求めた上で、

$$\overrightarrow{\mathrm{OG}} = \frac{M_1\overrightarrow{\mathrm{OG_1}}+M_2\overrightarrow{\mathrm{OG_2}}}{M_1+M_2}$$

の公式を使えば計算できる。または、同じことであるが、(c) を

$$h=h_c(x) = \left\{\begin{array}{ll} x\tan\alpha & (0\leq x... ...] \sqrt{R^2-x^2} & (R\cos\alpha\leq x\leq R)\end{array}\right.$$

の回転体と見て計算することでも計算できる。 $h_c(x)$ の $x\geq R\cos\alpha$ の部分は $h_a(x)$ であり、 その積分はすでに計算してあるので、あとは $x<R\cos\alpha$ の部分のみ計算すればよい。

$$\begin{eqnarray*}\int_0^{R\cos\alpha}h_c(x)^2 dx &=& \left[\frac{x^3}{3}\tan^2... ...ht]_0^{R\cos\alpha} =\ \frac{R^4}{4}\sin^2\alpha\cos^2\alpha\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int_0^Rh_c(x)^2 dx = \int_0^{R\cos\alpha}h_c(x)^2\... ...\frac{R^4}{4}\sin^2\alpha =\ \frac{R^4}{4}(1 - \cos^2\alpha)\end{eqnarray*}$$

となる。よって、(c) の重心の $x$ 座標 $g_c$ は、

$$g_c = \frac{R^4(1 - \cos^2\alpha)/4}{2R^3(1 - \cos\alph... ...}{8}(1+\cos\alpha) \hspace{1zw}\left(= \frac{3}{4} g_a\right)$$ (24)

となる。

例えば、半球 ($\alpha=\pi/2$) の場合は (20), (22), (24) より $g_a=R/2$, $g_b=g_c=3R/8$ となる。 球面よりも内部がつまっている球の方が赤道に近い部分が重い分、 重心が中心に近くなる。 また (20) より、$g_a$ は常に $x$ 座標の両端 $R$, $R\cos\alpha$ の真ん中になるが、 これは 7 節で述べる写像の正積性とも関係する。

(a),(b),(c) との比較の意味も込めて、 次はそれらの平面版である図形の重心を計算する。 すなわち、$g_d$ は $y=h_a(x)$ のグラフと $y=-h_a(x)$ のグラフをつなげた 図形の重心の $x$ 座標、 $g_e$ は $y=h_a(x)$ のグラフから $y=-h_a(x)$ 軸までの領域の重心の $x$ 座標、 $g_f$ は $y=h_c(x)$ のグラフから $y=-h_c(x)$ 軸までの領域の重心の $x$ 座標 とする。こちらも密度はすべて一定とする。このとき、 $g_d$ は、(15) より

$$g_d = \frac{\displaystyle \int_{R\cos\alpha}^R x\sqrt{1+(h... ...}% {\displaystyle \int_{R\cos\alpha}^R\sqrt{1+(h_a'(x))^2} dx}$$ (25)

となるが、

$$\sqrt{1+(h_a'(x))^2} = \sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}$$

なので、 $0\leq\alpha\leq\pi$ より、

$$\begin{eqnarray*}\int_{R\cos\alpha}^R\sqrt{1+(h_a'(x))^2} dx &=& \int_{R\cos\... ...rt{R^2-x^2}\right]_{R\cos\alpha}^R [.5zh] &=& R^2\sin\alpha\end{eqnarray*}$$

となり、よって、

$$g_d = \frac{R^2\sin\alpha}{R\alpha} = R \frac{\sin\alpha}{\alpha}$$ (26)

となる。

$g_e$ は、(17) より、

$$g_e = \frac{\displaystyle \int_{R\cos\alpha}^R xh_a(x)dx}{\displaystyle \int_{R\cos\alpha}^R h_a(x)dx}$$ (27)

となるが、部分積分により、

$$\begin{eqnarray*}\int_{R\cos\alpha}^R h_a(x)dx &=& \int_{R\cos\alpha}^R\sqrt{R... ...^2(\alpha - \cos\alpha\sin\alpha) - \int_{R\cos\alpha}^R h_a(x)dx\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\int_{R\cos\alpha}^R h_a(x)dx = \frac{R^2}{2}(\alpha - \cos\alpha\sin\alpha)$$

となる。一方、

$$\begin{eqnarray*}\int_{R\cos\alpha}^R xh_a(x)dx &=& \int_{R\cos\alpha}^Rx\sqrt... ...)^{3/2}\right]_{R\cos\alpha}^R &=& \frac{R^3}{3}\sin^3\alpha\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$g_e = \frac{R^3(\sin^3\alpha)/3}{R^2(\alpha - \cos\alpha\... ...frac{2R}{3} \frac{\sin^3\alpha}{\alpha - \cos\alpha\sin\alpha}$$ (28)

となる。

最後に $g_f$ は、 (17) より、

$$g_f = \frac{\displaystyle \int_0^R xh_c(x)dx}{\displaystyl... ...le \int_0^{R\cos\alpha} h_c(x)dx+\int_{R\cos\alpha}^R h_a(x)dx}$$ (29)

であり、

$$\begin{eqnarray*}\int_0^{R\cos\alpha} h_c(x)dx &=& \int_0^{R\cos\alpha} x\tan\... ...a} x^2\tan\alpha dx =\ \frac{R^3}{3}\sin\alpha\cos^2\alpha\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*}\int_0^R h_c(x)dx &=& \frac{R^2}{2}\sin\alpha\cos\alpha + \... ...lpha + \frac{R^3}{3}\sin^3\alpha =\ \frac{R^3}{3}\sin\alpha\end{eqnarray*}$$

より、

$$g_f = \frac{R^3(\sin\alpha)/3}{R^2\alpha/2} = \frac{2R}{... ...\sin\alpha}{\alpha} \hspace{1zw}\left(=\frac{2}{3} g_d\right)$$ (30)

となる。 なお、$g_f$ は $g_c$ 同様、(8) に戻って 極座標で計算してもそれほど難しくはない。

例えば半円 ($\alpha=\pi/2$) の場合、 $g_d=2R/\pi (=0.64R)$, $g_e = g_f = 4R/(3\pi) (=0.42R)$ となる。 $g_d$, $g_e$, $g_f$ はいずれも分母に $\alpha$ 自身が 残るため $g_a$, $g_b$, $g_c$ とはやや異なる。 平面と立体でこのような違いが現れるのは少し興味深い。