4 回転体の重心

次に、立体状の回転図形 (軸対称図形)、 すなわち平面内のある領域が作る回転体の重心の計算を考える。

$xh$ 平面内の $h\geq 0$ の部分にある領域 $D$ を $x$ 軸の回りに 回転させたときに $xyz$ 空間内に作られる回転体を $V$ とする。 その密度 $\rho(\mathrm{P})$ も $x$ 軸に関して回転対称であるとし、 $D$ 内の点 $(x,h)$ のみでそれが決まるとして、 それを $\rho_2(x,h)$ とする ( $\rho(\mathrm{P})=\rho_2(x,h)$)。

この場合、$V$ は $x$, $h$, $\theta$ をパラメータとして、

$$V:\hspace{0.5zw}\mbox{\boldmath$r$}=\mbox{\boldmath$r$}(x,h,... ...eta, h\sin\theta) \hspace{1zw}((x,h)\in D, 0\leq\theta<2\pi)$$

と表される。この $\mbox{\boldmath$r$}$ のヤコビアンは、

$$\vert\nabla\mbox{\boldmath$r$}\vert =\frac{D(x,y,z)}{D(x,h... ... 0&-h\sin\theta&h\cos\theta \end{array}\right\vert = h (>0)$$ (12)

となるので、

$$\begin{eqnarray*}\int_V\rho(\mathrm{P})dv &=& \int\!\!\!\int _D dxdh\int_0^{2\... ...=& \left(2\pi\int\!\!\!\int _D xh\rho_2(x,h) dxdh, 0, 0\right)\end{eqnarray*}$$

となるので、 重心 G は $x$ 軸上にあり、その $x$ 座標 $g_x$ は

$$g_x=\frac{\displaystyle \int\!\!\!\int _D xh\rho_2(x,h)dxdh}% {\displaystyle \int\!\!\!\int _D h\rho_2(x,h)dxdh}$$ (13)

となる。

特に、領域 $D$ が、ある関数 $h=f(x)$ の下の部分、すなわち、

$$D=\{(x,h); a\leq x\leq b, 0\leq h\leq f(x)\}$$

であり、かつ密度 $\rho_2(x,h)$ が $h$ によらず一定、 すなわち $\rho_2(x,h) = \rho_3(x)$ である場合は、

$$\begin{eqnarray*}\int\!\!\!\int _D h\rho_2(x,h)dxdh &=& \int_a^b \rho_3(x)dx\i... ...int_0^{f(x)}h dh =\ \frac{1}{2}\int_a^b x\rho_3(x)f(x)^2 dx\end{eqnarray*}$$

より、$g_x$ は

$$g_x=\frac{\displaystyle \int_a^b x\rho_3(x)f(x)^2 dx}% {\displaystyle \int_a^b\rho_3(x)f(x)^2 dx}$$ (14)

となる。