6 直交行列の軸回転行列による表現

本節では、$\vert A\vert=1$ の直交行列 $A$ を軸回転行列で表現すること、 およびそのそれぞれの回転角を計算する方法について考察する。

$\vert A\vert=1$ の直交行列 $A=[\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldmath$c$}]$ は、 補題 3 により、(12) の形に 表すことができる。それを変形する。まずは $\psi$ を外に出すと、

$$\begin{eqnarray*}A &=& [\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldma... ...-\mbox{\boldmath$\hat{p}$}] A_x\left(\psi-\,\frac{\pi}{2}\right)\end{eqnarray*}$$

の積にできる。次はこの左の行列から $\theta$ を外に出す。 $\mbox{\boldmath$\bar{p}$}(\phi)=\,{}^T\!{(\cos\phi,\sin\phi,0)}$ と書くと、

$$\mbox{\boldmath$p$} =\left[\begin{array}{c}{\cos\phi\cos\theta}\\... ...ray}\right] =\mbox{\boldmath$\bar{p}$}\sin\theta-\mbox{\boldmath$k$}\cos\theta$$

なので、

$$\begin{eqnarray*}[\mbox{\boldmath$p$},\mbox{\boldmath$\check{p}$}, -\mbox{\boldm... ...p}$},\mbox{\boldmath$\check{p}$},\mbox{\boldmath$k$}]A_y(-\theta)\end{eqnarray*}$$

と書ける。さらに、

$$[\mbox{\boldmath$\bar{p}$},\mbox{\boldmath$\check{p}$},\mbox{\bol... ...{0}\\ {\sin\phi}&{\cos\phi}&{0}\\ {0}&{0}&{1}\end{array}\right] =A_z(\phi)$$

なので、結局

  $$A = A_z(\phi)A_y(-\theta)A_x\left(\psi-\,\frac{\pi}{2}\right)$$ (42)

の形に書けることになる。

なお、(42) では、3 軸すべての方向の回転が 使われているが、直交行列 (回転変換) の軸回転行列による表現としては、 2 軸 ($z$-$y$-$z$, $x$-$z$-$x$ など) だけの形も 良く使われている。そのような形にするには、最初の式を変えればよい。

すなわち、 $A=[\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldmath$c$}]$ は、 $\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldmath$c$}$ が右手系の正規直交系なので、 $\mbox{\boldmath$c$},\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$}$ も右手系の正規直交系となるから、 補題 3 により、

  $$\mbox{\boldmath$c$}=\mbox{\boldmath$p$}, \hspace{1zw}\mbox{\bol... ...ath$b$}=-\mbox{\boldmath$\hat{p}$}\sin\psi +\mbox{\boldmath$\check{p}$}\cos\psi$$ (43)

と表すことも可能である。そこからスタートすれば、

$$A = [\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldmath$c$}] % \... ...ath$\hat{p}$}\sin\psi+\mbox{\boldmath$\check{p}$}\cos\psi, \mbox{\boldmath$p$}]$$

$$= [\mbox{\boldmath$\hat{p}$},\mbox{\boldmath$\check{p}$},\mbox{\bol... ...}&{-\sin\psi}&{0}\\ {\sin\psi}&{\cos\psi}&{0}\\ {0}&{0}&{1}\end{array}\right]$$

$$= [\mbox{\boldmath$\bar{p}$}\sin\theta-\mbox{\boldmath$k$}\cos\thet... ...$}, \mbox{\boldmath$\bar{p}$}\cos\theta+\mbox{\boldmath$k$}\sin\theta]A_z(\psi)$$

$$= [\mbox{\boldmath$\bar{p}$},\mbox{\boldmath$\check{p}$},\mbox{\bol... ...(\psi) % \\ &=& \ =\ A_z(\phi)A_y\left(\frac{\pi}{2}\,-\theta\right)A_z(\psi)$$ (44)

となり、$A$ を $z$-$y$-$z$ の 2 軸の回転で表現できることになる。

この角の計算可能性については、 例えば後者の $z$-$y$-$z$ の回転の方で考えると、 (43) の $\mbox{\boldmath$c$}=\,{}^T\!{(c_1,c_2,c_3)}$ から、

$$\sin\theta=c_3\hspace{0.5zw}\left(-\,\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\... ...w}\cos\theta=\sqrt{1-c_3^2}=\sqrt{c_1^2+c_2^2}\hspace{0.5zw}(=\mbox{$r$\ とする})$$

と求まり、さらに、 $\theta=\pm\pi/2$ なら $\phi = 0$、 $\vert\theta\vert<\pi/2$ なら

$$\cos\phi = \frac{c_1}{\cos\theta} = \frac{c_1}{r}, \hspace{1zw}\cos\phi = \frac{c_2}{\cos\theta} = \frac{c_2}{r}$$

となり $\theta$, $\phi$ は $\mbox{\boldmath$c$}$ で決定する。 $\psi$ は、 $a_3 = -\cos\theta\cos\psi$, $b_3= \cos\theta\sin\psi$ なので、 $\vert\theta\vert<\pi/2$ なら

  $$\cos\psi=-\,\frac{a_3}{r},\hspace{1zw}\sin\psi=\frac{b_3}{r}$$ (45)

と求まる。よってこの場合、 軸回転行列も $A$ の成分を用いて以下のように表される。

$$\begin{eqnarray*}A_z(\phi) &=& \left[\begin{array}{ccc}{\cos\phi}&{-\sin\phi}&... ...r}&{0}\\ {b_3/r}&{-a_3/r}&{0}\\ {0}&{0}&{1}\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

となる。

$\theta=\pm\pi/2$ の場合は、$c_3=\pm 1$ で $\mbox{\boldmath$c$}=\mbox{\boldmath$p$}=\pm\mbox{\boldmath$k$}$, よって $a_3=b_3=0$ で、 $\phi = 0$ より $\mbox{\boldmath$\hat{p}$}=\pm\mbox{\boldmath$i$}$, $\mbox{\boldmath$\check{p}$}=\mbox{\boldmath$j$}$ となり、

$$\mbox{\boldmath$a$}=\pm\mbox{\boldmath$i$}\cos\psi+\mbox{\boldmat... ...\mbox{\boldmath$b$}=\mp\mbox{\boldmath$i$}\sin\psi+\mbox{\boldmath$j$}\cos\psi$$

となるので、$a_2$, $b_2$ から $\sin\psi$, $\cos\psi$ を 求めることができる。この場合、

$$\begin{eqnarray*}A_z(\phi) &=& A_z(0) \ =\ E, \\ A_y\left(\frac{\pi}{2}\,-... ...&{-a_2}&{0}\\ {a_2}&{b_2}&{0}\\ {0}&{0}&{1}\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

となる。