4 補題

本節では、直交行列や 3 次元ベクトルに対して成り立つ補題を いくつかまとめて紹介する。

補題 1.

3 次元単位ベクトル $\mbox{\boldmath$a$}$ は常に

  $$\begin{array}{l} \mbox{\boldmath$a$} =\mbox{\boldmath$p$}(\phi... ...frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}, \ 0\leq\phi<2\pi\right) \end{array}$$ (7)

の形に書き表すことができる。

証明

この (7) は、単位球面の 3 次元極座標表現 ($r=1$) な ので、明らかであるが、一応示しておく。

$$\vert\mbox{\boldmath$a$}\vert = \vert\,{}^T\!{(a_1,a_2,a_3)}\vert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}=1$$

であるから $\vert a_3\vert\leq 1$、よって、 $a_3=\sin\theta$ となる $\theta$ が $-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$ の範囲でただ一つ決定する。

$\theta=\pm\pi/2$ の場合は $a_3=\pm 1$ より、$a_1=a_2=0$ となり、 $\cos\theta = 0$ となるから $\phi$ は例えば $\phi = 0$ とでもすれば よい (この場合 $\phi$ は一意には決まらない)。

$\vert\theta\vert<\pi/2$ の場合は、 $\vert\sin\theta\vert<1$ より $\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-a_3^2} > 0$ で、

$$\left(\frac{a_1}{\cos\theta}\right)^2 + \left(\frac{a_2}{\cos\t... ...heta} = \frac{a_1^2+a_2^2}{1-a_3^2} = \frac{a_1^2+a_2^2}{a_1^2+a_2^2} = 1$$

となるので、

$$\frac{a_1}{\cos\theta} = \cos\phi, \hspace{1zw}\frac{a_2}{\cos\theta} = \sin\phi$$

となる $\phi$ が $0\leq\phi<2\pi$ の範囲でただ一つ決定する。

$\mbox{\boldmath$p$}(\phi ,\theta )$ は、図 3 のように、 原点から単位球面へ向かうベクトルで、緯度 (中心からの仰角) が $\theta$、 経度 ($xy$ 平面への射影の $x$ 軸からの偏角) が $\phi$ で あるようなベクトルとなる。

図 3: $\protect\mbox{\boldmath $p$}(\phi,\theta)$

補題 2.

3 次元ベクトル $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ に対して、 行列式とスカラー三重積の値は等しい。

  $$\vert\mbox{\boldmath$a$}\ \mbox{\boldmath$b$}\ \mbox{\boldmath$c... ...= \mbox{\boldmath$a$}\mathop{・}(\mbox{\boldmath$b$}\times\mbox{\boldmath$c$})$$ (8)

また、 $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ が作る平行六面体の体積を $V$ と すると、

  $$\vert\mbox{\boldmath$a$}\ \mbox{\boldmath$b$}\ \mbox{\boldmath$c$}\vert = \pm V$$ (9)

となる。 符号は、 $\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldmath$c$}$ が右手系のときにプラス、 左手系のときにマイナスとなる。

証明

ベクトル解析の本を見れば大抵載っているが、一応示しておく。 (3) より、

$$\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$a$}\mathop{・}(\mbox{\boldmath$b$}\times\mbox{\b... ... a_1(b_2c_3 - b_3c_2)+a_2(b_3c_1 - b_1c_3)+a_3(b_1c_2 - b_2c_1) \end{eqnarray*}$$

となるが、これを展開すれば (6) が得られる。

後半であるが、スカラー三重積はまず

  $$\mbox{\boldmath$a$}\mathop{・}(\mbox{\boldmath$b$}\times\mbox{\bo... ...ldmath$a$}\vert\vert\mbox{\boldmath$b$}\times\mbox{\boldmath$c$}\vert\cos\phi$$ (10)

であり、$\phi$ は $\mbox{\boldmath$a$}$ と $\mbox{\boldmath$b$}\times\mbox{\boldmath$c$}$ が なす角 ( $0\leq\phi\leq\pi$) となる。

$\vert\mbox{\boldmath$b$}\times\mbox{\boldmath$c$}\vert$ は、 $\mbox{\boldmath$b$}$ と $\mbox{\boldmath$c$}$ が作る 平行四辺形の面積になるので、それを平行六面体の底面と見れば、 その高さは、その底面に垂直な方向 $\mbox{\boldmath$b$}\times\mbox{\boldmath$c$}$ への、 $\mbox{\boldmath$a$}$ の正射影 $\vert\mbox{\boldmath$a$}\vert\cos\phi$ となる。 ただし、$\phi>\pi/2$ であれば $\cos\phi<0$ なので、 高さは $-\vert\mbox{\boldmath$a$}\vert\cos\phi$ となる。 よって、(10) の右辺は $\pm V$ となる。

$+V$ となるのは、 $0\leq\phi<\pi/2$ のときなので、 $\mbox{\boldmath$a$}$ が底面に対して $\mbox{\boldmath$b$}\times\mbox{\boldmath$c$}$ と同じ側にあるとき、 よって $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$, $\mbox{\boldmath$a$}$ は右手系となるから、 $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ は右手系。 逆に $-V$ となるのは、 $\pi/2<\phi\leq\pi$ のときなので、 $\mbox{\boldmath$a$}$ が底面に対して $\mbox{\boldmath$b$}\times\mbox{\boldmath$c$}$ と反対側にある。 よって $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$, $\mbox{\boldmath$a$}$ は左手系なので、 $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ は左手系となる。

なお、$\phi=\pi/2$ の場合は $\cos\phi=0$ より三重積は 0 となるが、 この場合 $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ は同一平面にあるので $V$ も 0 となり、やはり (9) は成立する。

行列式の性質により、

$$\vert\mbox{\boldmath$a$}\ \mbox{\boldmath$b$}\ \mbox{\boldmath$c$... ... =\ -\vert\mbox{\boldmath$c$}\ \mbox{\boldmath$b$}\ \mbox{\boldmath$a$}\vert$$

となることがわかるが、これと補題 2 により、 行列式 (= 三重積) の正負でベクトルの右手系、左手系がわかることになる。

3 次元ベクトル $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ がいずれも 単位ベクトルで、互いに垂直な場合、これらを 正規直交系 と呼ぶ。

  $$\vert\mbox{\boldmath$a$}\vert=\vert\mbox{\boldmath$b$}\vert=\ver... ...h$a$}\perp\mbox{\boldmath$c$},\ \ \mbox{\boldmath$b$}\perp\mbox{\boldmath$c$}$$ (11)

補題 2 により、 $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ が正規直交系ならば $\vert\mbox{\boldmath$a$}\ \mbox{\boldmath$b$}\ \mbox{\boldmath$c$}\vert = \pm 1$ となることがわかる。

補題 3.

$\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ が右手系の正規直交系ならば

  $$\begin{array}{l} \mbox{\boldmath$a$}=\mbox{\boldmath$p$}(\phi,\... ...heta\leq\frac{\pi}{2}, \ 0\leq\phi<2\pi,\ 0\leq\psi<2\pi\right) \end{array}$$ (12)

の形に表すことができる。 ここで、 $\mbox{\boldmath$p$}(\phi ,\theta )$ は (7) の 右辺のベクトル、 $\mbox{\boldmath$\hat {p}$}(\phi ,\theta )$, $\mbox{\boldmath$\check {p}$}(\phi )$ は、

  $$\mbox{\boldmath$\hat{p}$}(\phi,\theta) =\left[\begin{array}{c}{... ...\phi)=\left[\begin{array}{c}{-\sin\phi}\\ {\cos\phi}\\ {0}\end{array}\right],$$ (13)

証明

まず、 $\mbox{\boldmath$p$}(\phi ,\theta )$, $\mbox{\boldmath$\hat {p}$}(\phi ,\theta )$, $\mbox{\boldmath$\check {p}$}(\phi )$ は正規直交系で、

  $$\mbox{\boldmath$p$}(\phi,\theta)\times\mbox{\boldmath$\hat{p}$}(\phi,\theta) = \mbox{\boldmath$\check{p}$}(\phi)$$ (14)

(よって右手系) となることに注意する。 その計算はいずれも容易なので省略する。

まず、 $\mbox{\boldmath$a$}$ を $\mbox{\boldmath$p$}(\phi ,\theta )$ の形に書くことは、 補題 1 により可能で、 これに対し、 $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ は $\mbox{\boldmath$a$}$ に 垂直な平面上にあるので、 $\mbox{\boldmath$p$}(\phi ,\theta )$ に垂直な単位ベクトル $\mbox{\boldmath$\hat {p}$}(\phi ,\theta )$, $\mbox{\boldmath$\check {p}$}(\phi )$ の 線形結合 (スカラー倍の和) で書けることになる。 しかも、 $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ は右手系の正規直交系、 $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$\hat {p}$}(\phi ,\theta )$, $\mbox{\boldmath$\check {p}$}(\phi )$ も 右手系の正規直交系なので、その平面上で、 $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ は、 $\mbox{\boldmath$\hat {p}$}(\phi ,\theta )$, $\mbox{\boldmath$\check {p}$}(\phi )$ をある角だけ $\mbox{\boldmath$a$}$ を軸として回転したベクトルとなる (図 4)。 その角を $\psi$ とすれば、

$$\mbox{\boldmath$b$} = \mbox{\boldmath$\hat{p}$}(\phi,\theta)\cos\... ...math$\hat{p}$}(\phi,\theta)\sin\psi+\mbox{\boldmath$\check{p}$}(\phi)\cos\psi$$

となる。

図 4: $\protect\mbox{\boldmath $a$}$, $\protect\mbox{\boldmath $b$}$ と $\protect\mbox{\boldmath $\protect\hat{p}$}(\phi,\theta)$, $\protect\mbox{\boldmath $\protect\check{p}$}(\phi)$

なお、参考までにこの (12) の成分をすべて書き下すと、 以下のようになる。

$$\mbox{\boldmath$a$} = \mbox{\boldmath$p$}(\phi,\theta) \ =\ \left[\begin{array}{c}{\cos\phi\cos\theta}\\ {\sin\phi\cos\theta}\\ {\sin\theta}\end{array}\right],$$ (15)

$$\mbox{\boldmath$b$} = \mbox{\boldmath$\hat{p}$}(\phi,\theta)\cos\psi+\mbox{\boldmath$\c... ...sin\phi\sin\theta+\sin\psi\cos\phi}\\ {-\cos\psi\cos\theta}\end{array}\right],$$ (16)

$$\mbox{\boldmath$c$} = -\mbox{\boldmath$\hat{p}$}(\phi,\theta)\sin\psi+\mbox{\boldmath$\... ...i\sin\phi\sin\theta+\cos\psi\cos\phi}\\ {\sin\psi\cos\theta}\end{array}\right]$$ (17)

補題 4.

直交行列 $A=[\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldmath$c$}]$ の列ベクトル $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ は正規直交系となる。 よって、$\vert A\vert=\pm 1$ である。

逆に、 $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ が正規直交系であれば、 $A=[\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldmath$c$}]$ は直交行列となる。

証明

ベクトルはすべて列ベクトルなので、ベクトルの内積は、 転置行列との積で書けることに注意する。

$$\mbox{\boldmath$u$}\mathop{・}\mbox{\boldmath$v$} = \,{}^T\!{\mbox{\boldmath$u$}}\mbox{\boldmath$v$}$$

$A$ は直交行列であるから $\,{}^T\!{A}A = E$ であるが、これは、

$$\,{}^T\!{A}A = \left[\begin{array}{c}{\,{}^T\!{\mbox{\boldmath... ...egin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\ {0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{1}\end{array}\right]$$

を意味するので、 よって $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ は正規直交系となる。

逆に、 $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ は正規直交系であれば、 上の計算より $\,{}^T\!{A}A = E$ となることがわかる。 行列式の理論により、

$$\vert\,{}^T\!{A}A\vert = \vert\,{}^T\!{A}\vert\vert A\vert = \vert A\vert\vert A\vert = \vert A\vert^2 = \vert E\vert = 1$$

となるので、$\vert A\vert=\pm 1$ となるから、$A$ は逆行列 $A^{-1}$ を持ち、 よって $\,{}^T\!{A}=A^{-1}$ となり、$A$ は直交行列となる。

補題 5.

直交行列 $A$ に対し、 $\varepsilon = \vert A\vert=\pm 1$ とすると、 任意のベクトル $\mbox{\boldmath$u$}$, $\mbox{\boldmath$v$}$ に対し、

  $$(A\mbox{\boldmath$u$})\mathop{・}(A\mbox{\boldmath$v$}) = \mbox{\... ...{\boldmath$v$}) = \varepsilon A(\mbox{\boldmath$u$}\times\mbox{\boldmath$v$})$$ (18)

証明

$A=[\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldmath$c$}]$、 とすると、補題 4 より $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ は正規直交系で、 $A\mbox{\boldmath$i$}=\mbox{\boldmath$a$}$, $A\mbox{\boldmath$j$}=\mbox{\boldmath$b$}$, $A\mbox{\boldmath$k$}=\mbox{\boldmath$c$}$ であり、 補題 2 より、

  $$\mbox{\boldmath$a$}\times\mbox{\boldmath$b$}=\varepsilon\mbox{\b... ... \mbox{\boldmath$c$}\times\mbox{\boldmath$a$}=\varepsilon\mbox{\boldmath$b$}$$ (19)

となる。また、

$$\mbox{\boldmath$u$} = \,{}^T\!{(u_1,u_2,u_3)}=u_1\mbox{\boldmath$... ..._2,v_3)}=v_1\mbox{\boldmath$i$}+v_2\mbox{\boldmath$j$}+v_3\mbox{\boldmath$k$}$$

とすれば

$$A\mbox{\boldmath$u$} = u_1A\mbox{\boldmath$i$}+u_2A\mbox{\boldm... ...$v$} = v_1\mbox{\boldmath$a$}+v_2\mbox{\boldmath$b$}+v_3\mbox{\boldmath$c$}$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{(A\mbox{\boldmath$u$})\mathop{・}(A\mbox{\boldmath$v$})... ...=& \varepsilon A(\mbox{\boldmath$u$}\times\mbox{\boldmath$v$}) \end{eqnarray*}$$

なお、(18) の内積の方は、行列の積を用いて

$$(A\mbox{\boldmath$u$})\mathop{・}(A\mbox{\boldmath$v$}) =\,{}^T\!... ...math$u$}}\mbox{\boldmath$v$} =\mbox{\boldmath$u$}\mathop{・}\mbox{\boldmath$v$}$$

と示すこともできる。

$z$ 軸を回転軸とする $\theta$ 回転 (回転軸ベクトル $\mbox{\boldmath$k$}$) は、 図 4 と同様に考えれば、 $x$ 軸方向の単位ベクトル $\mbox{\boldmath$i$}$ を $\mbox{\boldmath$i'$}=\mbox{\boldmath$i$}\cos\theta+\mbox{\boldmath$j$}\sin\theta$ に、 $y$ 軸方向の単位ベクトル $\mbox{\boldmath$j$}$ を $\mbox{\boldmath$j'$}=-\mbox{\boldmath$i$}\sin\theta+\mbox{\boldmath$j$}\cos\theta$ に移動することがわかる。 そしてそれにともない、点 P$(x,y,z)$ の位置ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\mbox{\boldmath$i$}+y\mbox{\boldmath$j$}+z\mbox{\boldmath$k$}$ は、

$$\overrightarrow{\mathrm{OP'}}=x\mbox{\boldmath$i'$}+y\mbox{\boldm... ...\cos\theta}&{0}\\ {0}&{0}&{1}\end{array}\right] \overrightarrow{\mathrm{OP}}$$

に移動する。すなわち、$z$ 軸に関する $\theta$ 回転は、行列

  $$A_z(\theta) = \left[\begin{array}{ccc}{\cos\theta}&{-\sin\theta}&{0}\\ {\sin\theta}&{\cos\theta}&{0}\\ {0}&{0}&{1}\end{array}\right]$$ (20)

による一次変換で表されることになる。 この $A_z(\theta)$ を $z$ 軸に関する 軸回転行列 と呼ぶ。

同様に、$x$ 軸の $\theta$ 回転は、

$$\left\{\begin{array}{ll} \mbox{\boldmath$j'$} &= \mbox{\boldmath... ...$}\cos\theta,\\ \mbox{\boldmath$i'$} &= \mbox{\boldmath$i$}\end{array}\right.$$

より、軸回転行列は

  $$A_x(\theta) = \left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\ {0}&{\cos\theta}&{-\sin\theta}\\ {0}&{\sin\theta}&{\cos\theta}\end{array}\right]$$ (21)

となり、$y$ 軸の $\theta$ 回転は、

$$\left\{\begin{array}{ll} \mbox{\boldmath$k'$} &= \mbox{\boldmath... ...$}\cos\theta,\\ \mbox{\boldmath$j'$} &= \mbox{\boldmath$j$}\end{array}\right.$$

より、軸回転行列は

  $$A_y(\theta) = \left[\begin{array}{ccc}{\cos\theta}&{0}&{\sin\theta}\\ {0}&{1}&{0}\\ {-\sin\theta}&{0}&{\cos\theta}\end{array}\right]$$ (22)

となる。

補題 6.

軸回転行列 $A_m(\theta)$ $(m=x,y,z)$, および任意の角 $\theta$, $\phi$ に 対して、次が成り立つ。

  $$A_m(\theta)A_m(\phi) = A_m(\theta+\phi), \hspace{1zw} A_m(\theta)^{-1}=A_m(-\theta)$$ (23)

証明

例えば $A_x(\theta)$ で考えれば、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{A_x(\theta)A_x(\phi) \ =\ \left[\begin{array}{ccc}{... ...&{\cos(\theta+\phi)}\end{array}\right] \ =\ A_x(\theta+\phi) \end{eqnarray*}$$

となる。 また、これにより $A_x(\theta)A_x(-\theta)=A_x(0)=E$ となるから、 後半もすぐに得られる。

$A_y(\theta)$, $A_z(\theta)$ の場合も同様。

一般的ではないが、本稿では次のような記号も用いる。 3 次正方行列 $A=[\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldmath$c$}]$ と 3 次元列ベクトル $\mbox{\boldmath$n$}$ に対して、

  $$\mbox{\boldmath$n$}\times A = [\mbox{\boldmath$n$}\times\mbox{\... ...math$n$}\times\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldmath$n$}\times\mbox{\boldmath$c$}]$$ (24)

と定める。外積も 3 次元列ベクトルなので、 $\mbox{\boldmath$n$}\times A$ は 3 次の正方行列となる。

補題 7.

3 次正方行列 $A, B$, および 3 次元列ベクトル $\mbox{\boldmath$n$}$, $\mbox{\boldmath$m$}$ に対して、次が成り立つ。

  $$(\mbox{\boldmath$n$}\times A)\mbox{\boldmath$m$} = \mbox{\boldma... ...\hspace{1zw} (\mbox{\boldmath$n$}\times A)B = \mbox{\boldmath$n$}\times (AB)$$ (25)

証明

(25) の前者が成り立つとすると、 後者が示されることを先に示す。 $B=[\mbox{\boldmath$b$}_1,\mbox{\boldmath$b$}_2,\mbox{\boldmath$b$}_3]$ とすると、 $AB = [A\mbox{\boldmath$b$}_1,A\mbox{\boldmath$b$}_2,A\mbox{\boldmath$b$}_3]$ より

$$\mbox{\boldmath$n$}\times (AB) = \mbox{\boldmath$n$}\times[A\mb... ...(A\mbox{\boldmath$b$}_2), \mbox{\boldmath$n$}\times(A\mbox{\boldmath$b$}_3)]$$

となるので、(25) の前者を用いれば、これは

$$[(\mbox{\boldmath$n$}\times A)\mbox{\boldmath$b$}_1, (\mbox{\bol... ...\mbox{\boldmath$b$}_2,\mbox{\boldmath$b$}_3] =(\mbox{\boldmath$n$}\times A)B$$

となり、(25) の後者が得られることになる。

よってあとは (25) の前者を示せばよい。 $A=[\mbox{\boldmath$a$}_1,\mbox{\boldmath$a$}_2,\mbox{\boldmath$a$}_3]$, $\mbox{\boldmath$m$}=\,{}^T\!{(m_1,m_2,m_3)}$ とすると、 $A\mbox{\boldmath$m$} = \mbox{\boldmath$a$}_1m_1+\mbox{\boldmath$a$}_2m_2+\mbox{\boldmath$a_3$}m_3$ なので、

$$\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$n$}\times(A\mbox{\boldmath$m$}) &=& (\mbox{\... ...th$m$} \ =\ (\mbox{\boldmath$n$}\times A)\mbox{\boldmath$m$} \end{eqnarray*}$$

となり、前者も示された。

補題 8.

直交行列 $A$ の固有値 $\lambda$ はすべて $\vert\lambda\vert=1$。 特に、3 次の直交行列では、必ず $\lambda=\vert A\vert$ という固有値を持つ。

証明

複素数ベクトル $\mbox{\boldmath$x$}=\mbox{\boldmath$x$}_1+i\mbox{\boldmath$x$}_2$, $\mbox{\boldmath$y$}=\mbox{\boldmath$y$}_1+i\mbox{\boldmath$y$}_2$ ( $\mbox{\boldmath$x$}_k$, $\mbox{\boldmath$y$}_k$ は 実数ベクトル、$i$ は虚数単位) の内積 $\langle\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$y$}\rangle$、 大きさ $\Vert\mbox{\boldmath$x$}\Vert$ を、

  $$\begin{array}{ll} \langle\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$y$... ...rt\mbox{\boldmath$x$}_1\vert^2+\vert\mbox{\boldmath$x$}_2\vert^2} \end{array}$$ (26)

と定める。

$A$ の固有値を $\lambda$、それに対する固有ベクトルを $\mbox{\boldmath$x$}$ とする。 $\lambda$ は一般には複素数 $\lambda=\lambda_1+i\lambda_2$、 $\mbox{\boldmath$x$}$ は複素数ベクトル $\mbox{\boldmath$x$}=\mbox{\boldmath$x$}_1+i\mbox{\boldmath$x$}_2$ で、 ゼロベクトルではない。

$A\mbox{\boldmath$x$}=\lambda\mbox{\boldmath$x$}$ なので、

  $$\langle A\mbox{\boldmath$x$},A\mbox{\boldmath$x$}\rangle = \langle\lambda\mbox{\boldmath$x$},\lambda\mbox{\boldmath$x$}\rangle$$ (27)

となるが、

$$\begin{eqnarray*}\langle A\mbox{\boldmath$x$},A\mbox{\boldmath$x$}\rangle &=& ... ...x$}} \ =\ \vert\lambda\vert^2\Vert\mbox{\boldmath$x$}\Vert^2 \end{eqnarray*}$$

なので、 $\Vert\mbox{\boldmath$x$}\Vert\neq 0$ より $\vert\lambda\vert=1$ が得られる。

よって実数の固有値は $\pm 1$ のいずれかとなるが、 3 次の直交行列の固有方程式

  $$f(\lambda) = \vert\lambda E-A\vert = 0$$ (28)

は実数係数の 3 次方程式なので、少なくとも一つ実数解を持つ。 固有値 $\lambda$ はすべて $\vert\lambda\vert=1$ なので、 $f(\lambda)$ は以下のいずれかの形となる。

1. $f(\lambda)=(\lambda-1)^3$
2. $f(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)$
3. $f(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)^2$
4. $f(\lambda)=(\lambda+1)^3$
5. $f(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-e^{i\theta})(\lambda-e^{-i\theta})$
6. $f(\lambda)=(\lambda+1)(\lambda-e^{i\theta})(\lambda-e^{-i\theta})$

これらの定数項はそれぞれ以下のようになる。

1. $f(0)=-1$
2. $f(0)=1$
3. $f(0)=-1$
4. $f(0)=1$
5. $f(0)=-1$
6. $f(0)=1$

一方 (28) より、 定数項は $f(0)=\vert-A\vert=-\vert A\vert$ でなければいけないので、$\vert A\vert=\pm 1$ より、 $\vert A\vert=1$ のときは定数項は $-1$ だから上の 1. か 3. か 5. で、 この場合はいずれも $\lambda=1=\vert A\vert$ を解に持つ。 $\vert A\vert=-1$ のときは定数項は $1$ だから上の 2. か 4. か 6. で、 この場合もいずれも $\lambda=-1=\vert A\vert$ を解に持つ。

なお、3 次の直交行列の場合は、 固有方程式の具体的な因数分解もそれほど難しくない。

$A=[\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldmath$c$}]$ とすると、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{f(\lambda) = \vert\lambda E-A\vert \ =\ \left\v... ... +(a_1b_2-a_2b_1+b_2c_3-b_3c_2+c_3a_1-c_1a_3)\lambda-\vert A\vert\end{eqnarray*}$$

となるが、(19) より、

$$\begin{eqnarray*}a_1b_2-a_2b_1 &=& (\mbox{\boldmath$a$}\times\mbox{\boldmath$b$}... ...x{\boldmath$c$}\times\mbox{\boldmath$a$})_y \ =\ \vert A\vert b_2\end{eqnarray*}$$

となるので、 $a_1+b_2+c_3=\mathrm{tr}(A)$ と書けば、

$$f(\lambda) = \lambda^3-\mathrm{tr}(A)\lambda^2 +\vert A\vert\mathrm{tr}(A)\lambda-\vert A\vert$$

$$= (\lambda-\vert A\vert)(\lambda^2+(\vert A\vert-\mathrm{tr}(A))\lambda+1)$$ (29)

と因数分解される。

$\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ は単位ベクトルなので、 $\mathrm{tr}(A)=a_1+b_2+c_3$ は、 $-3\leq\mathrm{tr}(A)\leq 3$ となるが、 その範囲はもう少し狭くなる。

補題 9.

3 次の直交行列 $A$ の対角成分の和 $\mathrm{tr}(A)=a_1+b_2+c_3$ は、

$$\vert\mathrm{tr}(A)-\vert A\vert\vert\leq 2$$

となる。 よって、$\vert A\vert=1$ なら $-1\leq\mathrm{tr}(A)\leq 3$, $\vert A\vert=-1$ なら $-3\leq\mathrm{tr}(A)\leq 1$ である。

証明

(29) より、右側の 2 次方程式

$$\lambda^2+(\vert A\vert-\mathrm{tr}(A))\lambda+1 = 0$$

の解を考える。 まず判別式 $D=(\vert A\vert-\mathrm{tr}(A))^2-4\geq 0$ の場合、 補題 8 よりその解はすべて $\pm 1$ でなくてはならない。 よって、 $1\pm (\vert A\vert-\mathrm{tr}(A))+1 = 0$ より $\mathrm{tr}(A)=\vert A\vert\pm 2$ となり この場合は補題が成立する。

$D=(\vert A\vert-\mathrm{tr}(A))^2-4<0$ の場合は、 $\vert\mathrm{tr}(A)-\vert A\vert\vert<2$ と なるのでやはり補題は成立する。 なお、この $D<0$ の場合は、解は

$$\lambda = \frac{\mathrm{tr}(A)-\vert A\vert}{2}\pm\frac{i\sqrt{-D}}{2}$$

となるので、

$$\vert\lambda\vert^2 = \left(\frac{\mathrm{tr}(A)-\vert A\vert}{... ...{tr}(A)-\vert A\vert)^2}{4}+ \frac{4-(\vert A\vert-\mathrm{tr}(A))^2}{4} = 1$$

となって、確かに補題 8 を満たしていることもわかる。

$\mathrm{tr}(A)$ の最大値、最小値を考えるには、 $\mathrm{tr}(A)=a_1+b_2+c_3= a_1+b_2+\varepsilon(a_1b_2-a_2b_1)$ と 書くこともできるので、$a_1$, $b_2$, $a_2$, $b_2$ を変数と見て 考えることもできるが、 制約条件が色々あるため、その方向ではかなり難しい。