9 ｘ→１−０ の評価の精密化

最後に、 $H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n)$ の $\varepsilon \rightarrow +0$ の 評価の精密化を行う。 これは、実は $H_{+}$ の展開式 (54) に近い形になる。

この場合も、(41) により、

  $$H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n) =\left\{\begin{arra... ...lon ^{-n}(\mathop{\mathit{B}}(\gamma+1,n)+o(1)) & (n\geq 1) \end{array}\right.$$ (55)

は得られていたが、$n=0$ のときは、 反転公式 (18) と (43) により、 $\gamma=-\beta>-1$ のときは

	$${ H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta) = (1-\varepsilon )^{\... ..._{+} \left(1+\frac{\varepsilon }{1-\varepsilon };\alpha,1-\beta,\beta-1\right)}$$
		$=$	$$(1-\varepsilon )^{\alpha-1}\left(-\log\frac{\varepsilon }{1-\varepsilon }+ M(\alpha) +M(1-\beta) +o(1)\right)$$
		$=$	$$-\log\varepsilon +M(\alpha)+M(1-\beta)+o(1)$$	(56)

が得られる。これが $\gamma<-1$ でも成立すること、 および $n=-\beta-\gamma\geq 1$ の場合の展開式

  $$H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n) = \sum_{j=1}^n\frac{A^{-}_j}{\varepsilon ^j}+B^{-}\log\varepsilon + A^{-}_0 + o(1)$$ (57)

を $\gamma>-1$ で得て、かつそれが $\gamma<-1$ の場合にも 成立することを示すことが本節の目標である。 先に $\gamma>-1$ の (57) を考え、 そのあとで $\gamma<-1$ に対する (56) と (57) を考えることにする。

なお、(57) を求めるには、 上の (56) と同じように 反転公式 (18) と (54) を 用いる方法もあるが、 実はそれだと $\gamma>-1$ の場合でも簡単には式が得られない。 それは、 $\gamma=-\beta-n>-1$ ($\beta<1-n$) のとき、 反転公式 (18) と (44) を 用いて書き表してみると、

	$${H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n) = (1-\varepsilon )^{... ...+} \left(1+\frac{\varepsilon }{1-\varepsilon };\alpha,1-\beta-n,\beta-1\right)}$$
		$=$	$$(1-\varepsilon )^{\alpha-1} \left(\sum_{j=1}^n\frac{A^{+}_j(1-\va... ...silon ^j} +B^{+}\log\frac{\varepsilon }{1-\varepsilon } + A^{-}_0 + o(1)\right)$$
		$=$	$$\sum_{j=1}^n\frac{A^{+}_j(1-\varepsilon )^{\alpha+j-1}}{\varepsilon ^j} +B^{+}\log\varepsilon + A^{-}_0 + o(1)$$	(58)

となるが、問題は $(1-\varepsilon )^{\alpha+j-1}$ が残る和の部分で、

$$\frac{(1-\varepsilon )^{\alpha+j-1}}{\varepsilon ^j} =\frac{1}{\v... ...y}{c} \!\!\alpha+j-1\!\! \\ \!\!k\!\! \end{array}\right)\varepsilon ^{k}+o(1)$$

より

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\sum_{j=1}^n\frac{A^{+}_j(1-\varepsilon )^{\alpha+j-1}... ... \!\!\alpha+j-1\!\! \\ \!\!j\!\! \end{array}\right)A^{+}_j +o(1)\end{eqnarray*}$$

となり、 $1/\varepsilon ^i$ の係数が $A^{+}_j$ と二項係数の積の和になって、 それを求めるのが容易でないからである。 もちろん、最終形を予想した上で帰納法を用いる手段もあるが、 むしろ積分に戻って、$H_{+}$ と同様の計算により導く方が早いので、 ここではその方針で考える。

$\beta+\gamma=-n\leq -1$, $\gamma=-n-\beta>-1$ とする。 この場合、$H_{-}$ は、

  $$H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n) =\int_{\varepsilon }^1(1-t)^{\alpha-1}t^{\beta-1}(t-\varepsilon )^{-\beta-n}dt$$ (59)

となるが、これを (46) 同様に $J(t)$ を用いて 2 つに分ける。

	$${H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n)}$$
		$=$	$$\int_{\varepsilon }^1J(t)t^{\beta-1}(t-\varepsilon )^{-\beta-n}dt... ...d{array}\right)\int_{\varepsilon }^1t^{\beta+k-1} (t-\varepsilon )^{-\beta-n}dt$$
		$=$	$$I_8 + I_9$$	(60)

$I_9$ の積分のうち、$k\leq n-1$ のものについては、 $t\rightarrow\infty$ で可積分なので、

$$\int_{\varepsilon }^1t^{\beta+k-1}(t-\varepsilon )^{-\beta-n}dt =\int_{\varepsilon }^\infty - \int_1^\infty =I_{9,k,1}-I_{9,k,2}$$

に分け、$I_{9,k,1}$ は $t=\varepsilon /s$ と置換すると、

$$I_{9,k,1} = \varepsilon ^{k-n}\int_0^1s^{n-k-1}(1-s)^{-\beta-n}ds = \frac{\mathop{\mathit{B}}(n-k,1-\beta-n)}{\varepsilon ^{n-k}}$$

となるが、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\mathop{\mathit{B}}(n-k,1-\beta-n) = \frac{\mathop{\... ...n{array}{c} \!\!\beta+n-1\!\! \\ \!\!n-k\!\! \end{array}\right)}\end{eqnarray*}$$

より

$$I_{9,k,1} = \frac{1}{(n-k)\left(\begin{array}{c} \!\!\beta+n-1\!\! \\ \!\!n-k\!\! \end{array}\right)}\,\frac{1}{(-\varepsilon )^{n-k}}$$

となる。また、$I_{9,k,2}$ は、ルベーグ収束定理により

$$I_{9,k,2} =\int_1^{\infty}t^{\beta+k-1}(t-\varepsilon )^{-\beta-n}dt =\int_1^{\infty}t^{k-n-1}dt+o(1) =\frac{1}{n-k}+o(1)$$

となる。

$k=n$ に対しては、 $t=\varepsilon /s$ と置換すると、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int_{\varepsilon }^1t^{\beta+n-1}(t-\varepsilon )^{-\... ...ilon + o(1) \hspace{1zw}(=\ M(\gamma+1) -\log\varepsilon + o(1))\end{eqnarray*}$$

となる。

また、$I_8$ については、 $0\leq t\leq 1/2$ では $J(t)=O(t^{n+1})$ なので、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{I_8 \ =\ \left(\int_\varepsilon ^{1/2} + \int_{1/2}... ...-n}ds + \int_{1/2}^1J(t)t^{\beta-1}(t-\varepsilon )^{-\beta-n}dt\end{eqnarray*}$$

と分けると、前者においては、

$$\vert J(s+\varepsilon )(s+\varepsilon )^{\beta-1}\vert \leq C_1(s... ...l} C_2 & (0\leq n+\beta<1)\\ C_1 s^{n+\beta} & (n+\beta<0)\end{array}\right.$$

なので、$-\beta-n>-1$ よりルベーグ収束定理が使えて、

$$\int_0^{1/2}J(s)s^{-1-n}ds = \int_0^{1/2}\frac{J(s)}{s^{n+1}}\,ds$$

に収束し、後者はそのままルベーグ収束定理が使えて、 同じ関数の $[1/2,1]$ での積分に収束する。よって、

$$I_8 = \int_0^1\frac{J(t)}{t^{n+1}}\,dt + o(1)$$

となる。 この積分は (48) の $I_7(n,\alpha)$ に等しいので、 補題 4 の 4. により

$$I_8 = (-1)^n\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right)(M(\alpha)-M(n+1)) + o(1)$$

となる。 結局、(60) は、$\gamma>-1$ に対して、 補題 5 より、

	$${H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n)}$$
		$=$	$$\sum_{k=0}^n(-1)^k\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\... ...k\!\! \end{array}\right)} \frac{1}{(-\varepsilon )^{n-k}}-\frac{1}{n-k}\right\}$$
			$$+(-1)^n\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right)(M(1-\beta-n)-\log\varepsilon )$$
			$$+(-1)^n\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right)(M(\alpha)-M(n+1))+o(1)$$
		$=$	$$\sum_{j=1}^n\frac{(-1)^{n-j}}{j}\frac{\displaystyle \left(\begin{... ...egin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right)\log\varepsilon$$
			$$+(-1)^n\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right)(M(\alpha-n)+M(1-\beta-n)-M(n+1)) + o(1)$$	(61)
			$$(\alpha>0,\ -\beta-n>-1,\ n\geq 0,\ \alpha,\beta\not\in\mbox{\boldmath$Z$}, n\in\mbox{\boldmath$Z$})$$

となることがわかる。 なおこれは、$n=0$ の (56) も含んでいる。

この $H_{-}$ の展開式 (61) と $H_{+}$ の展開式 (54) を比較すると、 $\varepsilon$ の負の巾の項が $-\varepsilon$ になっていることと、 定数項の部分の $M(\beta+n)$ が $M(1-\beta-n)$ になっている ところが違うだけで、他は全く同じ形になっていることがわかる。

次は、この (61) が $H_{-}$ の $\gamma<-1$ への拡張に対しても成り立つことを示す。 以後、(61) の係数を、 (57) のように

	$${H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n)}$$
		$=$	$$\sum_{j=1}^n\frac{A^{-}_j(\alpha,\beta,n)}{\varepsilon ^j} +B^{-}(\alpha,\beta,n)\log\varepsilon + A^{-}_0(\alpha,\beta,n) +o(1)$$	(62)

と書くことにする。

まずは $n=0$ の場合、すなわち (56) が $\gamma=-\beta<-1$、すなわち $\beta>1$ でも成立することを示す。 それには、(10) のリフティングと、 (41) の $\beta+\gamma>0$ の評価を用いて、 $m=-[\gamma]$ に関する帰納法により証明すればよい。

$\gamma>-1$、すなわち $m\leq 1$ では (56) が 成り立っているので、$m\geq 2$ に対して (56) を 示せばよい。 今、$-[\gamma]=m-1$ までは (56) が 成り立つとする。 $-[\gamma]=m$ に対しては、(10) を用いて $\gamma$ を一つ大きいもので表すと、

	$${H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta) \ =\ \frac{1}{1-\vare... ...alpha+\gamma+1}{\gamma+1} \,H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,1-\beta) \right.}$$
			$$\left. -\,\frac{\beta-1}{\gamma+1} \,H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha+1,\beta-1,1-\beta)\right\}$$	(63)

となるが、右辺の前者は (41) より

$$H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,1-\beta) =B(\alpha,1)+o(1) =\fr... ...mma}}(\alpha)}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(\alpha+1)}+o(1) =\frac{1}{\alpha}+o(1)$$

であり、後者は帰納法の仮定により

$$H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha+1,\beta-1,1-\beta) =-\log\varepsilon +M(\alpha+1)+M(2-\beta)+o(1)$$

が成り立つ。よって、(63) は

	$${H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta) \ =\ \frac{1}{1-\varepsilon }\left\{\frac{\alpha-\beta+1}{-\beta+1} \,\frac{1}{\alpha} \right.}$$
			$$\left. -\,\frac{\beta-1}{-\beta+1} (-\log\varepsilon +M(\alpha+1)+M(2-\beta))+o(1)\right\}$$
		$=$	$$\frac{1}{1-\varepsilon }\left\{ -\log\varepsilon +M(\alpha+1)+M(2-\beta)) +\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{\alpha}+o(1)\right\}$$
		$=$	$$-\log\varepsilon +M(\alpha+1)+M(2-\beta)) +\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{\alpha}+o(1)$$	(64)

となるが、補題 4 の 1. により確かに これは (56) に一致することがわかる。

これで、帰納法により (56) が すべての $\gamma\not\in\mbox{\boldmath$Z$}$ に対して成り立つことがわかる。

なお、この $n=0$ に対する証明を振り返ると、 $m$ は実質的には使っておらず、(63) の 「$m$ によらない」リフティングの式に、 「$m$ によらない」(41) の評価式と、 (56) の $\alpha$ を $+1$、 $\beta$ を $-1$ した式を代入して整理するだけの計算を行っている。

(56) は $m\leq 1$ では 成立することがわかっているが、上の計算が「$m$ によらない」ので、 それに対しても同じ計算を行うことができて、 そして当然すでに成り立つことがわかっている結果が得られる。 だから、前の $H_{\pm }$ に対する性質 [i]$\sim$[v] に対する証明と同じように、 $m\leq 1$ で「$m$ によらない計算」で成り立つことがわかることによって、 $m\geq 2$ でも同じ計算によって成立することがわかることになる。

これは、$n\geq 1$ の場合の (62) でも同じ構造であり、 よって、それがすでに $\gamma>-1$ ($m\leq 1$) で成り立つこと が示されていることによって、 $\gamma<-1$ でも成り立つことが自然に示されることになるので、 これで (62) がすべての $n\geq 1$, $\gamma\not\in\mbox{\boldmath$Z$}$ で成り立つことが言えることになる。

なお、もちろん、帰納法で $n\geq 1$ の場合の (62) を直接証明することも可能であり、 具体的には、$A^{-}_j$, $B^{-}_j$ に対して、

	$${A^{-}_j(\alpha,\beta,n) - A^{-}_{j+1}(\alpha,\beta,n) \ =\ \frac{\alpha+\gamma+1}{\gamma+1}\,A^{-}_j(\alpha,\beta,n-1)}$$
			$$-\,\frac{\beta-1}{\gamma+1}\,A^{-}_j(\alpha+1,\beta-1,n) \hspace{1zw}(j=0,1,\ldots,n)$$	(65)
	$${B^{-}(\alpha,\beta,n) \ =\ \frac{\alpha+\gamma+1}{\gamma+1}\,B^{-}(\alpha,\beta,n-1) -\,\frac{\beta-1}{\gamma+1}\,B^{-}(\alpha+1,\beta-1,n)}$$

が成り立つことを示すことで証明できる。 ここで、(65) の左辺が差になっているのは、 リフティング (63) の右辺の $1/(1-\varepsilon )$ の ためであり、この右辺をそのまま評価すると右辺の $1/\varepsilon ^j$ の係数は、 (58) と同様の計算により いくつかの項の和になってしまうが、 逆に $1/(1-\varepsilon )$ を (63) の左辺に回して $(1-\varepsilon )$ 倍に変えてやると、 左辺の $1/\varepsilon ^j$ の同類項を 2 つの項だけの差にでき、 それが (65) の左辺である。 そしてそれにより証明を多少簡略化できる。