7 ｘ→１−０ の評価

次は、$H_{-}$ の $x\rightarrow 1-0$ に対する評価を行う。 本節では $x=1-\varepsilon$ とおいて、 $\varepsilon \rightarrow +0$ を考える。 この場合、$\gamma<-1$ の拡張に関しても考察する必要がある。

まずは $\gamma>-1$ の場合を考える。この場合は、 補題 3 と前節の評価 (40) を 用いればよい。 まず、補題 3 より、

$$\begin{eqnarray*}H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,\gamma) &=& (1-\varepsilon ... ...frac{\varepsilon }{1-\varepsilon };\alpha,\gamma+1,\beta-1\right)\end{eqnarray*}$$

となるので、(40) より、

  $$H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,\gamma) = \left\{\begin{array}... ...gamma<0)\\ (-\log\varepsilon )(1+o(1)) & (\beta+\gamma=0) \end{array}\right.$$ (41)

となることがわかる。 なお、この評価は、$\beta+\gamma$ が小さくなるにつれ悪くなる (大きくなる) ことに注意する。

次は $\gamma<-1$ の場合を考える。まず、$-2<\gamma<-1$ とする。

	$${H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,\gamma) \ =\ \frac{\alpha+\gamma+1}{\gamma+1}\,H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha,\beta,\gamma+1) }$$
			$$-\,\frac{\beta-1}{\gamma+1}\,H_{-}(1-\varepsilon ;\alpha+1,\beta-1,\gamma+1)$$	(42)

を用いると、$\gamma+1>-1$ なので、この右辺に 既知の評価 (41) を適用すれば、 $\beta+\gamma>0$ の場合は (42) の右辺は

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\frac{\alpha+\gamma+1}{\gamma+1}\,\mathop{\mathit{B}}(... ...amma)+o(1) \\ &=& \mathop{\mathit{B}}(\alpha,\beta+\gamma)+o(1)\end{eqnarray*}$$

となるから (41) に一致し、 $\beta+\gamma=0$ のときは (42) の右辺の前者の項は有界、 後者の項は対数オーダーとなるので、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{-\,\frac{\beta-1}{\gamma+1}(-\log\varepsilon )(1+o(1))... ...(-\log\varepsilon )(1+o(1))} \\ &=& (-\log\varepsilon )(1+o(1))\end{eqnarray*}$$

となって (41) に一致、 $\beta+\gamma<0$ のときも後者の項の方が評価が悪いので、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{-\,\frac{\beta-1}{\gamma+1}\,\varepsilon ^{\beta+\gamm... ...^{\beta+\gamma}(\mathop{\mathit{B}}(\gamma+1,-\beta-\gamma)+o(1))\end{eqnarray*}$$

となってこれも (41) に一致する。

これで $-2<\gamma<-1$ の場合に (41) が成立することが 示されたことになる。

一方で、この証明では $-2<\gamma<-1$ であることは実質的には用いておらず、 よって $-3<\gamma<-2$ の場合も、$-2<\gamma<-1$ で (41) が成立することを利用して、上と全く同じ計算により証明を行うことができる。 つまり、すべての $\gamma<-1$ の場合に対して (41) が成り立つことを帰納的に証明することができるので、 これで (41) が $\gamma<-1$ の場合も成立することが 示されたことになる。

なお、 $H_{+}(1+\varepsilon )$ の評価 (40) と、 $H_{-}(1-\varepsilon )$ の評価 (41) を比較すると、 よく似た形で、 $\beta+\gamma<0$ の場合の係数に少しだけ違いがあることが わかる。