B.4 物理的なエントロピーの凹性

最後に、B.3 節で述べた、 $\eta=\rho S$ の $U={\,}^T\!(\rho,m,E)$ での凹性について述べておく。

この $U$ に関する 2 階微分による行列 $\nabla_U^2\eta$ を 計算するわけであるが、 この行列の計算は、これまでのように $W={\,}^T\!(\rho,u,P)$ で 行えばよい、とはいかない。 まずは、そこから検証する。

$\eta(U)$ に $U=G(W)$ を代入したものを $\hat{\eta}(W)=\eta(G(W))$ と すると、

$$\nabla_W\hat{\eta}(W)=\nabla_U\eta(U)\nabla_W G(W)$$

であり、また、

$$\nabla_W^2\hat{\eta}(W)=\nabla_W {\,\rule{0pt}{1.5ex}}^T\!\Bigl(\nabla_W\hat{\eta}(W)\Bigr)$$

であるから、

$$\nabla_W^2\hat{\eta}(W) =\nabla_W {\,}^T\!(\nabla_U\eta\nabl... ...bla_W\left\{{\,}^T\!(\nabla_W G){\,}^T\!(\nabla_U\eta)\right\}$$

となる。

今、$N\times N$ 行列 $A(W)$ と定数列ベクトル ($N\times 1$ 行列) $X$ に 対し、

$$\begin{eqnarray*}\nabla_W(A(W)X) &=& \left(\frac{\partial\, (A(W)X)}{\partial\... ...ial\, w_1}X,\ldots,\frac{\partial\, A(W)}{\partial\, w_N}X\right)\end{eqnarray*}$$

という $N\times N$ 行列となるが、これを記号的に

$$\nabla_WA(W)\otimes X$$

と書くことにする ($\nabla_WA(W)$ は、単独では意味のない記号になってしまうので、 特にこのように書くこととする)。 こうすれば、$X$ も $W$ の関数 $X=X(W)$ である場合も

$$\nabla_W(A(W)X(W))=\nabla_WA(W)\otimes X+A(W)\nabla_W X(W)$$

のように、積の微分の形に書くことができる。

この記法により、

$$\begin{eqnarray*}\nabla_W^2\hat{\eta}(W) &=& \nabla_W\left\{{\,}^T\!(\nabla_W ... ...nabla_U\eta) +{\,}^T\!(\nabla_W G)\nabla_W{\,}^T\!(\nabla_U\eta)\end{eqnarray*}$$

となるが、

$$\nabla_W{\,}^T\!(\nabla_U\eta) =\nabla_U\Bigl({\,}^T\!(\nabla_U\eta)\Bigr)\nabla_W G =\nabla_U^2\eta(U)\nabla_W G$$

なので、よって、

$$\nabla_W^2\hat{\eta}(W) =\nabla_W{\,}^T\!(\nabla_W G)\otimes... ...\nabla_U\eta) +{\,}^T\!(\nabla_W G)\nabla_U^2\eta(U)\nabla_W G$$

となる。

今、右辺の最初の行列を $B=\nabla_W{\,}^T\!(\nabla_W G)\otimes{\,}^T\!(\nabla_U\eta)$ とすると、

$$\nabla_W^2\hat{\eta}-B={\,}^T\!(\nabla_W G)\nabla_U^2\eta(U)\nabla_W G$$

となるので、

$${\,}^T\!X(\nabla_W^2\hat{\eta}-B)X={\,}^T\!Y\nabla_U^2\eta(U)Y \hspace{1zw}(Y=(\nabla_W G)X)$$

となる。よって、 $\vert\nabla_WG\vert\neq 0$ であるから、 $(\nabla_W^2\hat{\eta}-B)$ が正定値 (負定値) であることと、 $\nabla_U^2\eta$ が正定値 (負定値) であることは同値となる。 ただし、一般には $B\not\equiv 0$ なので、 $\nabla_W^2\hat{\eta}$ と $\nabla_U^2\eta$ が対応するわけではない。

今度は、 $U={\,}^T\!(\rho,m,E)$, $W={\,}^T\!(\rho,u,P)$ に対して $B$ を計算してみる。

$$\nabla_W G =\left(\frac{\partial\, }{\partial\, \rho},\frac{... ...rho & 0 \\ u^2/2 & \rho u & 1/(\gamma-1) \end{array}\right]$$

であり、また定義より

$$\begin{eqnarray*}B &=& \nabla_W{\,}^T\!(\nabla_W G)\otimes{\,}^T\!(\nabla_U\et... ...{\,}^T\!(\nabla_WG)}{\partial\, P}{\,}^T\!(\nabla_U\eta) \right)\end{eqnarray*}$$

であり、

$$\begin{eqnarray*}\frac{\partial\, {\,}^T\!(\nabla_WG)}{\partial\, \rho} &=& {\... ... \\ \frac{\partial\, {\,}^T\!(\nabla_WG)}{\partial\, P} &=& 0\end{eqnarray*}$$

となる。 $\nabla_U\eta=(\eta_\rho,\eta_m,\eta_E)$ なので、よって、

$$B=\left[\begin{array}{ccc} 0 & \eta_m+u\eta_E & 0\\ \eta_m+u\eta_E & \rho\eta_E & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

となる。ここで、 $\nabla_W\hat{\eta}=\nabla_U\eta\nabla_W G$ より、

$$\hat{\eta}_u=\rho\eta_m+\rho u\eta_E,\hspace{1zw} \hat{\eta}_P=\frac{1}{\gamma-1}\eta_E$$

なので、

$$\eta_m+u\eta_E=\frac{1}{\rho}\hat{\eta}_u,\hspace{1zw} \eta_E=(\gamma-1)\hat{\eta}_P$$

となり、よって $B$ を $\hat{\eta}$ で表わせば、

$$B=\left[\begin{array}{ccc} 0 & \hat{\eta}_u/\rho & 0\\ \h... ...amma-1)\rho\hat{\eta}_P & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

となる。

次に、具体的な $\hat{\eta}=\rho S$ に対して、 $\nabla_W^2\hat{\eta}-B$ を求める。 (B.3) より、

$$\hat{\eta} =\rho S =\rho S_0+k\rho\log P-k\gamma\rho\log\rho \hspace{1zw}\left(k=\frac{c_v}{\alpha}\right)$$

と書けるから、

$$\nabla_W\hat{\eta} =(\hat{\eta}_\rho,\hat{\eta}_u,\hat{\eta}... ...0+k\log P-k\gamma\log\rho-k\gamma,\ 0,\ \frac{k\rho}{P}\right)$$

となり、よって、

$$\nabla_W^2\hat{\eta}=\left[\begin{array}{ccc} -k\gamma/\rho... ... 0 & k(\gamma-1)\rho^2/P & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

となり、よって、

$$\nabla_W^2\hat{\eta}-B =\left[\begin{array}{ccc} -k\gamma/\... ...a-1)\rho^2/P & 0 \\ k/P & 0 & -k\rho/P^2 \end{array}\right]$$

となる。 今、 $X={\,}^T\!(x,y,z)$ に対して、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{{\,}^T\!X(\nabla_W^2\hat{\eta}-B)X = -\frac{k\gamma}... ...t)^2 -\frac{k(\gamma-1)}{\rho}x^2-k(\gamma-1)\frac{\rho^2}{P}y^2\end{eqnarray*}$$

となるので、$\gamma>1$ より、これは確かに 0 以下で、 しかもこれが 0 になるのは

$$z-\frac{P}{\rho}x=x=y=0$$

となるときのみで、これは $X=0$ を意味するから、結局、$X\neq 0$ ならば

$${\,}^T\!X(\nabla_W^2\hat{\eta}-B)X<0$$

であることが言え、 よって $\nabla_W^2\hat{\eta}-B$ が負定値であることが言える。 ゆえに $\nabla_U^2\eta$ は負定値となり、 $\rho S$ が凹であることが言える。