B.1 理想気体に対するエントロピー

次は、A 節の最後で述べたように、 一般の弱解に対して物理的に意味のある解を選別するための、 ラックス条件に代わるエントロピー条件についてここで説明する。 まず、具体的なエントロピーについて紹介し、 その後で数学的なエントロピーとエントロピー条件について説明することにする。

2 節で考察した理想気体では、 よく知られているように定常状態の気体に対して状態方程式

$$pV=nRT$$ (B.121)

が成り立つとする。 $p$ は単位面積あたりの気体の圧力、 $V$ は気体の体積、 $n$ は気体のモル数、 $R$ は気体の種類などにはよらない定数 (気体定数)、 $T$ は絶対温度である。

2 節の記号で書くと、 $a\leq x\leq b$ の範囲の定常的な気体で考えれば、

$$p=\frac{1}{A}P, \hspace{1zw} V=(b-a)A \hspace{1zw}(\mbox{$A$\ は管の断面積})$$

となるが、この部分の気体の質量は、

$$M^1_{[a,b]}=(b-a)\rho=n\alpha \hspace{1zw}(\mbox{$\alpha$\ はこの気体の (平均) 分子量})$$

に等しい。よって、

$$V=A\frac{n\alpha}{\rho}$$

と書けるので、これらを (B.1) に代入すれば

$$T=\frac{PV}{nR}=\frac{(b-a)P}{nR}=\frac{\alpha}{R}\,\frac{P}{\rho}$$

が得られる。

また、気体の 1 モルあたりの内部エネルギー $e_m$ は、 理想的な場合には $c_v$ を定数 (定積モル比熱)として

$$e_m=c_v T$$

と書けることが知られている。 これに対し、2.5 節の $e$ は 単位質量あたりの内部エネルギーなので、$e_m=\alpha e$ であり、 よって、

$$e=\frac{1}{\alpha}e_m=\frac{c_v}{\alpha}T =\frac{c_v}{R}\,\frac{P}{\rho}$$ (B.122)

となる。$c_p$ を低圧モル比熱、 $\gamma=c_p/c_v$ (比熱比) とすると、 $c_p=c_v+R$ という関係 (マイヤーの関係) が成り立つことが知られていて、 よって、

$$\gamma=\frac{c_v+R}{c_v}=1+\frac{R}{c_v}$$

となり、(B.2) より

$$e=\frac{1}{\gamma-1}\,\frac{P}{\rho}$$

が得られる。これが (2.17) である。

さて、エントロピーは、1 モルあたりの気体の熱量 $Q$ に対して

$$dQ = TdS_m$$

なるものとして定義される。 ここで $S_m$ は気体の 1 モルあたりのエントロピーである。

熱力学の第 1 法則により、1 モルの気体に対して

$$TdS_m=dQ = de_m+pdV$$

が成り立つ。 今、単位質量あたりのエントロピーを $S$ とすれば $S_m=\alpha S$ であり、 $n$ モルの気体に対する熱量変化を書けば、

$$Td(nS_m)=d(ne_m)+pdV$$

であり、よって、

$$n\alpha TdS=n\alpha de+pdV$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*}TdS &=& de+\frac{p}{n\alpha}dV = de+\frac{1}{n\alpha}\,\fra... ...o^2}d\rho = e\left(\frac{dP}{P}-\gamma\frac{d\rho}{\rho}\right)\end{eqnarray*}$$

となる。 $T=\alpha e/c_v$ より、この両辺を $T$ で割れば、

$$dS=\frac{c_v}{\alpha}\left(\frac{dP}{P}-\gamma\frac{d\rho}{\rho}\right)$$

が得られる。よって、これを積分すれば

$$S=S_0+\frac{c_v}{\alpha}\log\frac{P}{\rho^\gamma}$$ (B.123)

と表される。また、

$$\left(\frac{\partial\, S}{\partial\, P}\right)_\rho=\frac{1... ...rtial\, \rho}\right)_P=-\frac{\gamma}{\rho}\,\frac{c_v}{\alpha}$$

であることがわかる。