3.2 保存則方程式系

連立の保存則方程式系 (3.1) を、 まずベクトルを使って書き直す。

$$U={\,}^T\!(u_1,u_2,\ldots,u_N)=\left[\begin{array}{c}u_1\\ u_2\\ \vdots\\ u_N\end{array}\right]$$

と書き (${\,}^T\!{\,}$ は転置)、 $f_j(u_1,\ldots,u_N)$ を $f_j(U)$ のように書くことにする。 また、

$$F(U)={\,}^T\!(f_1(U),f_2(U),\ldots,f_N(U)) =\left[\begin{array}{c}f_1(U)\\ f_2(U)\\ \vdots\\ f_N(U)\end{array}\right]$$

とすると、(3.1) は簡単に

$$U_t+F(U)_x=0$$ (3.21)

と書ける。 $F(U)$ は $U$ の適当な階数分滑らか (微分可能) な関数と考えるが、 その $U$ の定義域を $\Omega (\subset R^N)$ とする。

例えば、(2) で扱ったオイラー座標系の理想気体の 保存則方程式の場合は、

$$\begin{array}{l} U=\left[\begin{array}{c}\rho\\ m \\ E\end{... ...(\rho,m,E);\ \rho>0,\ E-\frac{m^2}{2\rho}>0\right\} \end{array}$$

となっている。

$U$ の関数 $g(U)=g(u_1,\ldots,u_N)$ に対し、$U$ に関する微分演算子 $\nabla_U$ を

$$\nabla_U g(U) = \left(\frac{\partial\, g}{\partial\, u_1},\f... ...rtial\, u_2},\ldots,\frac{\partial\, g}{\partial\, u_N}\right)$$

と定義し、$F(U)$ に対しては、

$$\nabla_U F(U) = \left[\begin{array}{c}\nabla_U f_1(U)\\ \nab... ...e \frac{\partial\, f_N}{\partial\, u_N}\\ \end{array}\right]$$

のように定める。

一般に、

$$\begin{eqnarray*}g(U)_x &=& \frac{\partial\, g}{\partial\, u_1}\,\frac{\parti... ...abla_U g(U) \frac{\partial\, U}{\partial\, x} = \nabla_U g(U) U_x\end{eqnarray*}$$

であり、よって

$$F(U)_x = \nabla_U F(U)U_x$$

であるから、$U$ が (3.2) の 滑らかな解であれば、(3.2) は、

$$U_t+ A(U)U_x =0$$ (3.22)

の形に書ける ( $A(U)=\nabla_U F(U)$)。

$U\in\Omega$ に対して、 連立の準線形の 1 階の微分方程式 (3.3) の 係数行列 $A(U)$ の固有値がすべて異なる実数であるとき、 (3.3) は 双曲型 (hyperbolic) であると呼ぶ。 その固有値を

$$\lambda_1(U)<\lambda_2(U)<\cdots<\lambda_N(U)$$

と書き、$\lambda_j(U)$ に対する $A(U)$ の右固有ベクトル (列ベクトル) を $r_j(U)$、左固有ベクトル (行ベクトル) を $l_j(U)$ と書くことにする:

$$A_j(U)r_j(U)=\lambda_j(U)r_j(U),\hspace{1zw} l_j(U)A_j(U)=\lambda_j(U)l_j(U)$$

なお、$F(U)$ が $U\in\Omega$ で滑らかなときに、 $\Omega$ 全体で滑らかな $\lambda_j(U)$, $r_j(U)$, $l_j(U)$ が 存在するかどうかについては、C.1 節を 参照のこと。 少なくとも局所的にはそれらが存在することは示せるので、 必要なら $\Omega$ を少し狭く考えることで、 $\Omega$ 上で滑らかな $\lambda_j(U)$, $r_j(U)$, $l_j(U)$ が 存在するとみなせる。 よって、以後はそのように考える ($\Omega$ で存在する) こととする。