7 対称性

$F_n$ は、A, B のどちらが上であるかを考えないゲーム差の平均値であるから、 互角のところ ($p=1/2$) で対称になっていて、 またその互角のところではゲーム差が 0 に近いことが期待されるので、 $p=1/2$ で最小値を取ることが予想される。 この節ではそれを考えてみる。 すなわち、以下の 2 つを示す。

1. $F_n(p)$ は $p=1/2$ に関して対称、すなわち $F_n(r+1/2)$ は $r$ に関して偶関数となる
2. $F_n(p)$ は $0\leq p\leq 1/2$ では減少、 $1/2\leq p\leq 1$ では増加する。 よって $p=1/2$ で最小値を取り、 $p=0,1$ で最大値 $n$ を取る

最後の最大値 $n$ は、$A$ が必ず勝つのであれば当然ゲーム差は $n$ となるだろう。

5 節の (14) より、 これはいずれも $F_{2m}$ について考えればよいことがわかる。 ここでは (15) を用いて考えることにする。

$p=r+1/2$ とすると $q=1-p=1/2-r$ であるから、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{p^kq^{2m-k}+p^{2m-k}q^k} \\ &=& p^kq^k(q^{2m-2k}+p^{... ...{2}-r\right)^{2m-2k} +\left(\frac{1}{2}+r\right)^{2m-2k}\right\}\end{eqnarray*}$$

となるので、これは明らかに $r$ の偶関数となる ($r$ の代わりに $-r$ を代入しても不変)。 よって (15) より $F_{2m}(r+1/2)$ は確かに $r$ の偶関数となる。

次に (15) を $p$ の式とみて $p$ で微分する。$q=1-p$ より

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{(p^kq^{2m-k}+p^{2m-k}q^k)'} \\ &=& k(p^{k-1}q^{2m-k}-q^{k-1}p^{2m-k}) +(2m-k)(p^{2m-k-1}q^k-p^kq^{2m-k-1})\end{eqnarray*}$$

となるが、今 $g(n,k)=p^{n-k}q^k-p^kq^{n-k}$ と書くことにすると、これは

$$(p^kq^{2m-k}+p^{2m-k}q^k)' = -kg(2m-1,k-1)+(2m-k)g(2m-1,k)$$

と書ける。 よって、(15) より、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\left(\frac{F_{2m}}{2m}\right)'} \\ &=& \sum_{k=1}^{... ...begin{array}{c} 2m-1 \\ m-2 \end{array}\right)\right\}g(2m-1,m-1)\end{eqnarray*}$$

と変形すると、$g(2m-1,k)$ の係数 $c_{m,k}$ は 5 節と同様の変形により、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{c_{m,k}} \\ &=& -\left\{\left(\begin{array}{c} 2m-1 ... ...ht) \\ &=& 2\left(\begin{array}{c} 2m-1 \\ k \end{array}\right)\end{eqnarray*}$$

と書き直せる。同様に、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{(m+1)\left\{\left(\begin{array}{c} 2m-1 \\ m-1 \end{ar... ...right) = 2\left(\begin{array}{c} 2m-1 \\ m-1 \end{array}\right)\end{eqnarray*}$$

となるので、結局

$$\left(\frac{F_{2m}}{2m}\right)' =\sum_{k=0}^{m-1}2\left(\begin{array}{c} 2m-1 \\ k \end{array}\right)g(2m-1,k)$$

となる。ここで、$g(2m-1,k)$ は $0\leq k\leq m-1$ に対し、

$$\begin{eqnarray*}g(2m-1,k) &=& p^{2m-k-1}q^k-p^kq^{2m-k-1} = p^kq^k(p^{2m-2k... ...m-2k-1}) \\ &=& (p-q)p^kq^k\sum_{j=0}^{2m-2k-2}p^{2m-2k-2-j}q^j\end{eqnarray*}$$

と因数分解され、$(p-q)$ 以外の部分は $0<p<1$ では正であり、 $p-q=2p-1$ は $p>1/2$ で正、$p<1/2$ で負なので、 この節最初の主張の 2. の増減の部分が言えたことになる。

$F_n(1)$ の値は、例えば (6) に $p=1$, $q=0$ を代入すれば

$$F_n(1)=n\left(\begin{array}{c} n \\ n \end{array}\right)=n$$

となる。